Sierpinski Üçgeni - Fraktal - Geometrik Seri

Question

ÖABT için uygun olabilecek bir problem sunalım.

 

$\color{red}{ \textbf{Soru [Lokman GÖKÇE]:}}$ Sierpinski üçgeni şu şekilde oluşturulur.

1. Adım: Bir eşkenar üçgen çiziniz.

2. Adım: Bu eşkenar üçgenin orta noktalarını kullanarak orta kısımda oluşan eşkenar üçgeni maviye boyayınız.

3. Adım: Boyalı olmayan üçgenlere 2. adımdaki işlemi tekrar ve tekrar uygulayınız.

Başlangıç üçgeninin alanı $S$ olsun. Boyama işlemleri $n$ defa uygulandığında, mavi boyalı kısmın toplam alanı $T_n$ olsun. $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \frac{T_n}{S}}$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{3}{4} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{15}{16} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{63}{64} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{255}{256} \qquad\textbf{e)}\ 1$

 

Answer 1

Problemin çözümünü paylaşabiliriz.

 

Yanıt: $\boxed{E}$

$\color{red}{\textbf{Çözüm:}}$

Her adımda oluşan mavi üçgenlerin sayısı sırasıyla $1, 3, 3^2, \dots$ şeklinde geometrik olarak artmaktadır. Ayrıca ardışık adımlarda oluşan üçgenlerin benzerlik oranı $\dfrac{1}{2}$ olduğundan alanlar oranı da $\dfrac{1}{4}$ olur. İlk boyalı alan $A_1 = \dfrac{S}{4}$ tür. İkinci boyalı alanda $3$ tane yeni üçgen oluştuğu için $A_2 = 3\cdot \dfrac{A_1}{4} = 3\cdot \dfrac{S}{16}$ olur. Genel olarak $A_{n+1} = 3\cdot \dfrac{A_n}{4}$ tür. Bu ise $(A_n)$ nin, $\dfrac{3}{4}$ ortak çarpanına sahip bir geometrik dizi olduğunu gösterir.

$$T_n = A_1 + A_2 + A_3 + \cdots + A_n = \dfrac{S}{4} + \dfrac{3S}{16}  + \dfrac{9S}{64} + \cdots  + \dfrac{3^{n-1}S}{4^n}$$

olup sonsuz geometrik toplam formülünden

$$\lim_{n\to \infty} \left(T_n \right) = \dfrac{S}{4}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{3}{4}} = S$$

elde edilir. Böylece, $\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \dfrac{T_n }{S} = \dfrac{S}{S} = 1}$ elde edilir.