Processing math: 20%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
687 kez görüntülendi

ÖABT için uygun olabilecek bir problem sunalım.

 

Soru [Lokman GÖKÇE]: Sierpinski üçgeni şu şekilde oluşturulur.

1. Adım: Bir eşkenar üçgen çiziniz.

2. Adım: Bu eşkenar üçgenin orta noktalarını kullanarak orta kısımda oluşan eşkenar üçgeni maviye boyayınız.

3. Adım: Boyalı olmayan üçgenlere 2. adımdaki işlemi tekrar ve tekrar uygulayınız.

Başlangıç üçgeninin alanı S olsun. Boyama işlemleri n defa uygulandığında, mavi boyalı kısmın toplam alanı Tn olsun. lim değeri aşağıdakilerden hangisidir?

 \textbf{a)}\ \dfrac{3}{4} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{15}{16} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{63}{64} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{255}{256} \qquad\textbf{e)}\ 1


 

Lisans Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından  | 687 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Problemin çözümünü paylaşabiliriz.

 

Yanıt: \boxed{E}

\color{red}{\textbf{Çözüm:}}

Her adımda oluşan mavi üçgenlerin sayısı sırasıyla 1, 3, 3^2, \dots şeklinde geometrik olarak artmaktadır. Ayrıca ardışık adımlarda oluşan üçgenlerin benzerlik oranı \dfrac{1}{2} olduğundan alanlar oranı da \dfrac{1}{4} olur. İlk boyalı alan A_1 = \dfrac{S}{4} tür. İkinci boyalı alanda 3 tane yeni üçgen oluştuğu için A_2 = 3\cdot \dfrac{A_1}{4} = 3\cdot \dfrac{S}{16} olur. Genel olarak A_{n+1} = 3\cdot \dfrac{A_n}{4} tür. Bu ise (A_n) nin, \dfrac{3}{4} ortak çarpanına sahip bir geometrik dizi olduğunu gösterir.

T_n = A_1 + A_2 + A_3 + \cdots + A_n = \dfrac{S}{4} + \dfrac{3S}{16}  + \dfrac{9S}{64} + \cdots  + \dfrac{3^{n-1}S}{4^n}

olup sonsuz geometrik toplam formülünden

\lim_{n\to \infty} \left(T_n \right) = \dfrac{S}{4}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{3}{4}} = S

elde edilir. Böylece, \displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \dfrac{T_n }{S} = \dfrac{S}{S} = 1} elde edilir.
(2.6k puan) tarafından 
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,098,899 kullanıcı