$a_1=\sqrt{2} , \ a_2=\sqrt{2\sqrt{2}}, \ a_3= \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}},.........$ olan $a_n$ dizisi neye yakınsar?

Question

Genel Terim Tanımı:

$a_1=\sqrt2,\ a_{n+1}=\sqrt{2a_n}$ ($n\geq1$)

Comments

$a_n$ tam olarak ne? $\sqrt 2$ mi? $a_1$ nedir vs...

Su haline $a_n=\sqrt 2$ oldugundan diye cevap verilebilir...

---

diziler $a_n=a_1,a_2,a_3,....,a_n$ diye gider ve sonlanır, genel olarak çogu insan bıldıgınden tek tek yapmaya gerek görmedim bence anlaşılıyor :) , ve bir yerde de sonlandırmayıp yakınsak mı ıraksak mı dedıgımden bu dızının sonsuza gıttıgını anlayabılırız bence :) ama gene de eklemem gerekıyorsa ekleyeyım abi :)

---

$a_n$'in kurali nedir peki?

---

kurali verince cok basit oluyor diye yazmadim 

---

$n \ge 5$ icin $a_n=5$ ise $\lim a_n=5$ olur.

---

Dizinin tanımını düzelttim.

Bu dizi, daha güzel şöyle tanımlanabilir:

$a_1=\sqrt2,\ a_{n+1}=\sqrt{2a_n}$ ($n\geq1$)

---

teşekkürler , o genel terimi ekleyeyim.

Answer 1

Merhabalar

1. Yol denklem mantigiyla olaya bakarsak $\sqrt{2\sqrt{2..}}$

 $\sqrt{2.x}=x$ olsun diyerek x=2 

2.yol olarak elde edilen genel terim 

$2^{\frac{1}{2}}$ ,$2^{\frac{1+\frac{1}{2}}{2}}$, ve devaminda 2 nin kuvveti olarak 1+$\frac{1}{2} $+ $\frac{1}{4} $+... serisi (ki toplami 2 olan geometrik seridir) elde edilir.  O halde cevap $2^\frac{2}{2} $=2 olur.

2.cozum  daha mantikli gibi 

Selamlar

Comments

elinize sağlık.

---

Ilk cozumde limitin oldugu kabul edilmis. Ikincisinde de limit uste atilmis, bunu bazen (burada da) yapabiliyoruz. Kullandigimiz araclar onemli.

---

Rica ederim. Ayrica bilgilendirme için teşekkurler sercan hocam.