Üç cisim problemi

Question

Uzaydaki üç cisimin yerçekimi kuvvetleri altındaki davranışını Newton fiziğine göre tasvir eden denklemleri çözmek mümkün müdür?

Comments

Bu denklemleri görebilirmiyiz?

---

hamiltonyeni kolayca yazılıyor sanırım

Answer 1

Evet, mümkündür ve hatta daha genel n-cisim probleminin heryerel çözümü ilk kez Q. Wang  Celestial Mechanics 50 (1991), 73-88. doi:0.1007/BF00048987 'de yayınlamıştır.

n-cisim problemi aşağıda verilen ikinci derece adi türevsel denklemleri için bir başlangıç değer problemidir.

$m_i \ddot{\bf{q}}_i =\displaystyle\sum_{1\leq i\leq j\leq n}^{n}\frac{m_i m_j(\textbf{q}_i-\textbf{q}_j)}{|\bf{q}_i-\bf{q}_j|}$,   $i=1,...,n$


Bu denklemlere sistemin kütle çekim potensiyali $U=\displaystyle\sum_{1\leq i\leq j\leq n}\frac{m_im_j}{|\bf{1}_i-\bf{q}_j|}$ yol açar. (Ve tabiki de herhangi iki parçacığın aynı yerde bulunmasına da izin verilmez.)

Noktasal parçacıkların bilinen  başlangıç değerleri  $\bf{q_i}(0),\dot{\bf{q}}_i(0)$ ve kütleleri  $m_i$  için  üç boyutlu, zamana bağlı  vektörel yer fonksiyonlarının $\bf{q}_i(t)$ bulunulmasından ibarettir.

Bunu farklı yazarsak
$q=(\bf{q}_1,\bf{q}_2,...,\bf{q}_n)^T$, $p=(\bf{p}_1,\bf{p}_2,...,\bf{p}_n)^T$, $M=diag(m_1,m_1,m_1;...;m_n,m_n,m_n)$ $T=\frac{1}{2}p^T M^{-1} p$
ve de Hamiltoyen $h=T-U$'dur.

Wang aşağıdaki dönüşümü $(F,G,\tau)$ tanımlamıştır:

$h>0$ için $u^{-1}=2(U(q)+h)$, $h<0$ için $u^{-1}=2U(q)$ ile $F=u^{-1}q; G=u^{1/2}p; \frac{dt}{d\tau}=u^{3/2}$

$\frac{du}{d\tau} =-2 (M^{-1} G, \nabla U(F))u$, $\frac{dF}{d\tau}=M^{-1} G + 2(M^{-1}G,\nabla U(F))F$, $\frac{dG}{d\tau}=\nabla U(F)-(M^{-1}G,\nabla U(F))G$, $\frac{dt}{d\tau} =u^{3/2}$, $U(F)=\displaystyle\sum_{1\leq i\leq j\leq n}\frac{m_im_j}{|{F}_i-{F}_j|}$

Ayrıca 
$h>0$ için $G^T M^{-1}G=1$, $1/2-U(F)=uh$ ve
 $h\leq0$ için $G^T M^{-1}G=1+2uh$, $1/2-U(F)=0$
denklemleri geçerli olmak zorundadır.

Cauchy teoremi kullanılarak F,G,u,t'nin  $W^{\tau_0}:=\{\tau:|\tau-\tau_0|<A e\}$ bölgesinde analitik olduğu gösterilir ve bu bölge açıkorur bir eşlemeyle $\phi$ birim diskin üzerinde resmedilir. $phi$'nin varlığı (q,p)'nin $\tau$'ya göre açılımının yakınsak olduğunu kanıtlar (, ayrıntılar sözü edilen makalede).

Maalesef sayısal çözümlerin bulunması için sözedilen makalede kullanılan açılım yönteminin yakınsama hızı baştaki türevsel denklemlerin sayısal integrasyonuna göre çok yavaş kalmaktadır. En basit üç cisim probleminin çok kısa bir süredeki çözümü bile bu yöntemle günümüz bilgisayarlarıyla bulunamaz.

Ama üç cisim probleminin belli koşullardaki çözümleri tam olarak bilinmektedir (örn. açısal momentumu sıfır olan üç eşit kütleli nokta parçacığın bir düzlemdeki çözümleri bkz. http://suki.ipb.ac.rs/3body).