Question

Boolean cebiri nedir?

Answer 1

Tanım: $X$ herhangi bir küme; $``\curlyvee"$ ve $ ``\curlywedge",$  $X$ kümesi üzerinde iki ikili işlem; $\perp$, $X$ kümesi üzerinde bir birli işlem ve $0,1\in X$ olmak üzere

$\mathbf{BC_1)}$ $(\forall x\in X)(x\curlyvee x=x)(x\curlywedge x=x)$

$\mathbf{BC_2)}$ $(\forall x,y\in X)(x\curlyvee y=y\curlyvee x)(x\curlywedge y=y\curlywedge x)$

$\mathbf{BC_3)}$ $(\forall x,y,z\in X)((x\curlyvee y)\curlyvee z=x\curlyvee (y\curlyvee z))((x\curlywedge y)\curlywedge z=x\curlywedge (y\curlywedge z))$

$\mathbf{BC_4)}$ $(\forall x,y\in X)((x\curlywedge y)\curlyvee x=x)((x\curlyvee y)\curlywedge x=x)$

$\mathbf{BC_5)}$ $(\forall x,y,z\in X)(x\curlywedge (y\curlyvee z)=(x\curlywedge y)\curlyvee (x \curlywedge z))(x\curlyvee (y\curlywedge z)=(x\curlyvee y)\curlywedge (x \curlyvee z))$

$\mathbf{BC_6)}$  $(\forall x\in X)(0\curlyvee x=x)(0\curlywedge x=0)(1\curlyvee x=1)(1\curlywedge x=x)$

$\mathbf{BC_7)}$ $(\forall x\in X)(\exists x^{\perp}\in X)(x\curlywedge x^{\perp}=0)(x\curlyvee x^{\perp}=1)$

koşullarını sağlayan $$(X,\curlyvee, \curlywedge, \perp,0,1)$$ altılısına Boole cebiri denir.

 

Biçimsel olarak

$$(X,\curlyvee, \curlywedge,\perp,0,1) \,\ \text{Boole Cebiri}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall x\in X)(x\curlyvee x=x)(x\curlywedge x=x)$$

$$(\forall x,y\in X)(x\curlyvee y=y\curlyvee x)(x\curlywedge y=y\curlywedge x)$$

$$(\forall x,y,z\in X)((x\curlyvee y)\curlyvee z=x\curlyvee (y\curlyvee z))((x\curlywedge y)\curlywedge z=x\curlywedge (y\curlywedge z))$$

$$(\forall x,y\in X)((x\curlywedge y)\curlyvee x=x)((x\curlyvee y)\curlywedge x=x)$$

$$(\forall x,y,z\in X)(x\curlywedge (y\curlyvee z)=(x\curlywedge y)\curlyvee (x \curlywedge z))(x\curlyvee (y\curlywedge z)=(x\curlyvee y)\curlywedge (x \curlyvee z))$$

$$(\forall x\in X)(0\curlyvee x=x)(0\curlywedge x=0)(1\curlyvee x=1)(1\curlywedge x=x)$$

$$(\forall x\in X)(\exists x^{\perp}\in X)(x\curlywedge x^{\perp}=0)(x\curlyvee x^{\perp}=1)$$

şeklinde ifade edilir.

 

Örneğin $E$ herhangi bir küme olmak üzere $2^E$ kuvvet kümesi, kesişim, birleşim ve tümleme işlemleriyle bir Boole cebiridir yani $$\left(2^E,\cup,\cap,\setminus,\emptyset,E\right)$$ cebirsel yapısı bir Boole cebiridir.

Comments

Teşekkür ediyorum cevabınız için. Peki örnekte verdiğiniz $E$ kümesinin $2^{E}$ altkümeler ailesi nedir? yani bu ailenin elemanları nelerdir?

---

$2^E=\mathcal{P}(E)=\{A\mid A\subset E\}$

---

Kuvvet kümesi. tamam.

---

Başka bildiğiniz örnek var mı?

---

$P$ önermeler ailesi "veya", "ve" ve "olumsuzluk" işlemleriyle bir Boole cebiridir yani $(P,\vee,\wedge, \neg ,0,1)$ cebirsel yapısı bir Boole cebiridir.

---

Bir tane daha yazıyordum ama elektrik kesintisinden dolayı yazdıklarımın hepsi gitti.

---

Bu ise bizim şansımız mı diyelim! 

---

Bir örnek daha:

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\text{Clop}(X,\tau):=\{A|A\in \tau\cap C(X,\tau)\}$ olmak üzere $$(\text{Clop}(X,\tau),\cap,\cup,\setminus,\emptyset,X)$$ altılısı da bir Boole cebiridir.

NOT: $C(X,\tau):=\{A\subseteq X|A, \ \tau\text{-kapalı}\}.$

---

Bir örnek daha Handan hocam:

$(X,\tau)$ topolojik uzay olsun. Bir $(X,\tau)$ topolojik uzayındaki tüm regüler açık (kapanışının içi kendisine eşit olan kümeler) kümelerin oluşturduğu aileyi $RO(X)$ ile gösterelim.

$U\wedge V:=U\cap V$

$U\vee V:=\overline{U\cup V}^{\circ}$

$U^{\perp}:=\overline{(\setminus U)}^{\circ}$

$0:=\emptyset$

$1:=X$

şeklinde ele alınırsa

$(RO(X),\wedge,\vee,\perp,0,1)$

altılısı bir Boole cebiri olur.

Bir üstte yer alan $\text{Clop}(X)$ Boole cebiri, bu $RO(X)$ Boole cebirinin bir altcebiridir.

Answer 2

Murad Özkoç'un, cevabının altına yazdığı yorumunda söylediği gibi bir topolojik uzayın kapaçık (hem kapalı hem açık) altkümeleri kesişim, birleşim, tümleme altında bir Boole cebiri veriyor. 

Kapaçık cebiri:  Yukarıdaki uzaya o uzayın kapaçık cebiri diyelim. $X$ topolojik uzayının kapaçık cebirini $KA(X)$ ile gösterelim.

Ben de aslında bütün Boole cebirlerinin bir topolojik uzayın kapaçık cebiri olduğunu göstereyim.

Başlamadan önce bir örnek daha: Iki elemanlı $\{0,1\}$ kümesi üzerinde $$ 0 \wedge 0 \equiv 0 \wedge 1 \equiv 1 \wedge 0 \equiv 0 \\ 1 \vee 1 \equiv 1 \vee 0 \equiv 0 \vee 1 \equiv 1 \\ 1 \wedge 1 \equiv 1 \\ 0 \vee 0 \equiv 0$$ işlemleri bir Boole cebiri tanımlar. Bu kurallar tanıdık mantık kuralları. $1$ yerine doğrunun D'si, $0$ yerine yanlışın Y'si, $\wedge$ yerine ve, ve $\vee$ yerine veya koyarak bunu görebiliriz.

Boole cebiri morfizması: Eğer iki Boole cebiri arasındaki bir fonksiyon Boole cebiri yapısını koruyorsa o fonksiyona Boole cebiri morfizması denir. Bir Boole cebiri $B$'den başka bir Boole cebiri $C$'ye giden bütün morfizmaların kümesini $\mathrm{Hom}(B,C)$ ile gösterelim. Eğer $C = \{0,1\}$ ise $\mathrm{Hom}(B, \{0,1\})$ kümesini kısaca $B^*$ ile gösterelim.

Stone Temsil Teoremi: $B$ bir Boole cebiri olsun. $B^*$ kümesi $\{0,1\}^B$ kümesinin bir altkümesi dolayısıyla bir topolojik uzay yapısı var. Stone Temsil Teoremi diyor ki: Boole cebiri olarak $$ B \cong KA(B^*)$$ denkliği vardır. Kanıtı zor değil: eğer gerekli ipuçları verilir ve kanıt parçalara ayrılırsa üst düzey bir lisans öğrencisi rahatlıkla kanıtlayabilir.

Stone uzayı: Eğer bir topolojik uzay tıkız (compact), tamamen bağlantısız (totally disconnected) ve Hausdorff ise o uzaya Stone uzayı diyelim. Örnek: Eğer $B$ bir Boole cebiri ise $B^*$ bir Stone uzayı olur.

Kategori Teori: Stone temsil teoreminde gördüğümüz gibi her Boole cebirine karşılık gelen bir Stone uzayı var. Ama bunun daha fazlası da var:

$$\begin{align*} \text{Boole cebirleri} &\to \text{Stone uzayları} \\ B &\mapsto B^*\end{align*}$$ 

gönderimi okları tersine çeviren bir kategorik denklik (dualite). 

Yani, "biraz" abartarak Handan'ın orijinal sorusunu Boole cebirleri Stone uzaylarıdır diye cevaplayabiliriz :)

Comments

Kaynak:

1) Cartier'in Grothendieck anısına yazdığı bu yazı. Section 4 and 5.

2) Terry Tao'nun bu blog yazısı.

---

Teşekkürler Özgür, bu arada ben Handan. Eski bilgilerimi unuttuğum için bu isimle devam edeceğim:)

---

Merhaba Handan :)

Answer 3

İlgilenenler için bir kaynak önermek isterim:

@Book{978-0-521-33779-3,
  title         = {Stone Spaces},
  publisher     = {Cambridge University Press},
  year          = {1982},
  author        = {Johnstone, P.T.},
}

Comments

Sizede teşekkür ederim.

---

Ulusal Tez Merkezi sitesinden yazar Kenan Aykur yazarsanız konuyla ilgili detaylı bilgiye ulaşabilirsiniz.

Answer 4

Bir örnek daha Handan hocam:

$(X,\tau)$ topolojik uzay olsun. Bir $(X,\tau)$ topolojik uzayındaki tüm regüler açık (kapanışının içi kendisine eşit olan kümeler) kümelerin oluşturduğu aileyi $RO(X)$ ile gösterelim.

$U\wedge V:=U\cap V$

$U\vee V:=\overline{U\cup V}^{\circ}$

$U^{\perp}:=\overline{(\setminus U)}^{\circ}$

$0:=\emptyset$

$1:=X$

şeklinde ele alınırsa

$(RO(X),\wedge,\vee,\perp,0,1)$

altılısı bir Boole cebiri olur.

Bir üstte yer alan $\text{Clop}(X)$ Boole cebiri, bu $RO(X)$ Boole cebirinin bir altcebiridir.