Sigma cebiri ve cebir karmaşası

Question

$B$ ve $\mathfrak{B}$ bir $X$ kümesinin kuvvet kümesinin alt kümesi olsun.

$A_1$,...,$A_n$ kümeleri $B$'de iken bunların bileşiminin de $B$'de olması $B$'nin $cebir$ olma şartlarından biri. Güzel. 

$\mathfrak{B}$ bir $\sigma$-$cebiri$ ise bu sefer {$A_i$} küme ailesi $\mathfrak{B}$'de iken bu ailenin sayılabilir bileşiminin de $\mathfrak{B}$'de olması gerekiyor.

Bir önceki tanımda teker teker $A_i$'ler $B$'nin elemanı idi, şimdi ise {$A_1$, $A_2$, ...,$A_n$,...} diye bir eleman var ve o elemanın elemanı olan $A_i$'lerin içindeki elemanlardan oluşan dev küme mi $\mathfrak{B}$'nin elemanı? Temel bir kümeler teorisi sorusu aslında.

Answer 1

Dev kümeden kastın nedir?

Duruma göre değişir. $A_i$'ler farklı olmak zorunda değil, hepsini $\{1\}$ seçersin, birleşimleri $\{1\}$ olur, ya da $A_i=\{i\}$ seçersen birleşim de pozitif tam sayılar olur. Hatta belirli bir $n$'den sonra sabitlersen $1$'den $n$'ye kadar sayılar olur.

İstenen sayılabilir birleşim altında kapalılık.

Comments

Çok teşekkür ederim.

"Dev"i silmem gerek.

$Cebir$ tanımında sadece $A_1$, ... , $A_n$ kümeleri vardı, şimdi neden $\{A_1$, ... , $A_n$,... $\}$ diye bir küme, eleman olarak kabul edildi?

---

Niye sorularina cevap verecek kadar konuyu bilmiyorum. Gecen bi kitap aldim elime baktim tanimlara, bilgim sadece bu kadar. 

Yani tanimi genisletmek guzeldir. Yani sadece sonlu demektense, bunun bir ustu olan sayilabilir daha faydali olabilir, ki oluyordur da.

Sunu unutmamak lazim, $\sigma$-cebri de bir cebirdir, yani bunu kisitlarsan cebir yapisini kullanabilirsin, kisitlamazsan daha genis bir yapisi var. 

Mesela kumeler icin sadece $\{1,\cdots, n\}$ ile yetinmiyoruz, $\{1,\cdots, n,\cdots\}$ olarak genisletiyoruz. Bunlar da ise yariyor. En azindan hali hazir da elimiz de onemli olan $\mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C$ kumeleri var.

Son olarak sunu soyleyeyim: kume birlesimlerini sonlu sonsuz diye ayirirsak olcum de sorun cikabilir. Gerci bu sorun tanimin sonlu yerine sayilabilir seklinde olmasindan.

Mesela $\mu^*(A)$ fonksiyonu $A$ sonluysa $0$ ve $A$ sonsuz ise $1$ olsun. Bu durumda bir dis olcum elde edemeyiz. ($\mathbb R$ icerisinde). Fakat bunu sayilabilir ve sayilamaz olarak degistirirsek bu bir dis olcum olur.

Zaten integral de limit kullaniyoruz ve limit sayilabilir bir kume uzerinden limit. Bun olcumler de Lebeque integralle ilgili oldugundan (henuz bilmedigim bir konu), en azindan bildigimiz Riemann integraliyle alakali oldugundan, bence genisletilmesi de gerekliydi. 

---

Mesele genişletmek değil, $cebir$deki $A_n$ elemanları neden küme parantezi içinde değil? Veya neden $\sigma$-$cebir$deki $A_n$ler küme parantezi içinde?

---

$\{A_i\}_{i \in I}$ kume ailesi, $I=\{1,\cdots,n\}$. 
$\{A_i\}_{i \in I}$ kume ailesi, $I=\{1,\cdots,n,\cdots\}$. 

Neye takildin anlamadim acikcasi. Yani biri tanimi yazarken kume parantezi koymaz, biri koyar. Tanim farki, biri sonlu birlesim, digeri sayilabilir birlesim. Mesela burda da hic kume isareti yok.

Answer 2

Hayır, $\{A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots\}$ diye bir eleman yok $\mathfrak{B}$ icinde. $\mathfrak{B}$'nin icinde olan $$\bigcup_{i\in\mathbb{N}}A_i$$ kumesi. Yani $$\{x\in X:\exists i\in\mathbb{N}, x\in A_i\}\in\mathfrak{B}$$

Comments

Tam olarak zihnimdeki karmaşa buydu. Çok teşekkür ederim hocam.