sigma cebirlerinin artan birlesimleri de sigma cebiri midir?

Question

$\sigma_1 \subset \sigma_2 \subset \cdots$ sartini saglayan fakat $\cup_{i=1}^\infty\sigma_i$ sigma cebiri olmayan bir sigma cebiri ailesi ornegi veriniz.

Answer 1

$\sigma_n$ kumesini $\{1,\cdots,n\}$ kumesinin alt kumelerini ve bu kumelerin tumleyenlerini iceren kume olarak secelim. Bu kumelerin sigma cebri oldugu ve  her $n,k$ pozitif tamsayisi icin $\sigma_n \subset \sigma_{n+k}$ oldugu da bariz.

Simdi birlesimlerinin $\sigma$-cebri olmayacagini gosterelim: $\{2i\} \in \sigma_{2i}$ oldugundan, eger bu birlesim $\sigma$-cebri ise  $\{2i |i \in \mathbb Z^+\} \in \cup_{n=1}^\infty\sigma_n$ olmali. Yani bir $j$ pozitif tam sayisi icen  $\{2i |i \in \mathbb Z^+\} \in \sigma_j$ olmali.  Fakat ne bu kume sonlu, ne de tumleyeni. Bu da celiski verir.