Question

Birlesimleri $\sigma$-cebiri olmayan bir $\sigma$-cebiri ailesi veriniz.

Answer 1

$\sigma_1  = \{\emptyset, \{1\}, \{1\}^c, \mathbb{N}\}$ ve $\sigma_2 = \{\emptyset,  \{2\}, \{2\}^c, \mathbb{N}\}$ olsun. Bu durumda birlesimleri  $$\sigma_1 \cup \sigma_2 = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1\}^c, \{2\}^c, \mathbb{N}\}$$ olur.  Bu kumede $\{1\} \cup \{2\}=\{1,2\}$ olmadigindan sigma cebri olamaz, hata cebir bile degil.

Answer 2

Buradaki cevap bu soruya da uyuyor. Cevabin aynisi: 

$\sigma_n$ kumesini $\{1,\cdots,n\}$ kumesini n alt kumelerini ve bu kumelerin tumleyenlerini iceren kume olarak secelim. Bu kumelerin sigma cebri oldugu bariz.

Simdi birlesimlerinin $\sigma$-cebri olmayacagini gosterelim: $\{2i\} \in \sigma_{2i}$ oldugundan, eger bu birlesim $\sigma$-cebri ise  $\{2i |i \in \mathbb Z^+\} \in \cup_{n=1}^\infty\sigma_n$ olmali. Yani bir $j$ pozitif tam sayisi icen  $\{2i |i \in \mathbb Z^+\} \in \sigma_j$ olmali.  Fakat ne bu kume sonlu, ne de tumleyeni. Bu da celiski verir.