|A|>1 Koşuluna ihtiyacınız yok. Yeter koşulunu eldeki ifadenin contrapositive'ini ('contrapositive' teriminin Türkçesi nedir?) kullanarak ispat edeceğim.
Elimizdeki A kümesinin bir aralık olması için gerekli ve yeter koşul şudur: her x,y∈A ve her z∈R için eger x≤z≤y ise o zaman z∈A.
Eğer A bir aralık değil ise, o zaman öyle x,y∈A ve öyle bir z∈R vardır ki x≤z≤y ancak z∉A. Ama o zaman A kümesi iki tane ayrık kaçık (açık ve kapalı) kümenin birleşimi olarak yazılabilir
A=(−∞,z]∩A∪[z,∞)∩A=(−∞,z)∩A∪(z,∞)∩A
Yani A bağlantısızdır.