Topolojik Uzaylarda Bağlantılılık

Question

$(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış (usual) topolojik uzay ve $A\subseteq \mathbb{R}$ olmak üzere

$$(\mid A \mid >1)(A, \ \mathcal{U}\text{-bağlantılı}) \Leftrightarrow A, \text{aralık}.$$

Comments

Gerek kısmı tamam yeter kısmını istirham edeceğim.

Answer 1

$|A|>1$ Koşuluna ihtiyacınız yok. Yeter koşulunu eldeki ifadenin contrapositive'ini ('contrapositive' teriminin Türkçesi nedir?) kullanarak ispat edeceğim.

Elimizdeki $A$ kümesinin bir aralık olması için gerekli ve yeter koşul şudur: her $x,y\in A$ ve her $z\in \mathbb{R}$ için eger $x\leq z\leq y$ ise o zaman $z\in A$.

Eğer $A$ bir aralık değil ise, o zaman öyle $x,y\in A$ ve öyle bir $z\in \mathbb{R}$ vardır ki $x\leq z\leq y$ ancak $z\notin A$. Ama o zaman $A$ kümesi iki tane ayrık kaçık (açık ve kapalı) kümenin birleşimi olarak yazılabilir

\[ A = (-\infty,z]\cap A \cup [z,\infty)\cap A = (-\infty,z)\cap A \cup (z,\infty)\cap A \]

Yani $A$ bağlantısızdır.

Comments

Tek elemanli aralik olabilir mi?

---

Olur, niye olmasın? $[a,a] = \{a\}$ Bir aralıktır.

---

Kafamdaki aralik kavramina yatmiyor lakin olmamasi icin pek bir sebep yok. Dejenere olarak da isimlendiriyorlar da, bence herkes isine geldigi gibi tanimlayabilir bu kismi.

---

$x, y \in A$ , $z \notin A$ ve $x \leq z \leq y$ dedigimizde $A$'nin birden fazla elemani var demektir. Burasi kafami kurcaladi ilk basta. Ama $A$ tek elemanli olsaydi, aralik olurdu. Demek ki "Eger $A$ bir aralik degilse.." dedigimiz zaman, zaten birden fazla eleman oldugunu kabul ediyoruz. Dogru anlamis miyim?

---

Aralık genel durumda da (poset'lerde) bu şekilde tanımlanır. Kafanıza yatırın bence :)

---

Dediğiniz doğru. Aralık değilse diye başlayınca ve koşulu yazınca $|A|>1$ çıkıyor zaten.

---

Tesekkur ederim.

---

Ben de tesekkur ederim.