Burulmalı abel gruplarıyla ilgili bir soru

Question

$p$ bir asal olsun.

$$\bigoplus_{k=1}^n \left(\bigoplus_{I_k} \mathbb{Z}/p^k \mathbb{Z}\right) \simeq \bigoplus_{k=1}^n \left(\bigoplus_{J_k} \mathbb{Z}/p^k \mathbb{Z}\right)$$

ise her $k=1,\ldots, n$ için $|I_k| = |J_k|$ eşitliğini gösterin. (Göstergeç kümeleri sonsuz da olabilir tabii, yoksa kolay.)

Answer 1

Her şeyi $p$ ile çarparak, tümevarımla $|I_2| = |J_2|, \ldots, |I_n| = |J_n|$ buluruz. Son eşitliği şöyle gösterelim: Gruba $A$ diyelim. $B = \{a\in A : pa = 0\}$ olsun. $C = B \cap pA$ olsun. O zaman $B/C \simeq \bigoplus_{I_1} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \simeq \bigoplus_{J_1} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ olur. Demek ki $dim B/C =  |I_1| = |J_1|$.

Answer 2

Bir başka kanıt daha genel sonuç veriyor: $n$'yi $\infty$ yapabiliriz. Nitekim gruba $A$ diyelim. Önce istediğimizi $k=1$ için gösterelim.
$$B = \{a\in A : pa = 0\}$$
ve $C = B \cap pA$ olsun. O zaman $$B/C \simeq \bigoplus_{I_1} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \simeq \bigoplus_{J_1} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$$ olur. Yukarıdaki gibi $|I_1| =  |J_1|$ buluruz.

Şimdi, yukarıda yaptığımızı $A$ yerine $pA$ ile yaparsak, $|I_2| =  |J_2|$ buluruz. Bu yöntemle istediğimiz kanıtlanır.