Seriler

Question

ABCD dikdörtgeninde ilk önce, │DF│2│FC│,│AG│=2│GD│,│BD│=2│AD│ ve │CE│=2│BE│ olacak şekilde D,E,F,G noktaları birleştirilerek DEFG dörtgeni oluşturuluyor.Daha sonra DEFG dörtgeninde │GM│=2│MF│,│AG│=2│GD│,│EK│=2│KD│,│FL│=2│LE│olacak şekilde  K,L,M,N  noktaları birleştirilerek KLMN dörtgeni oluşturularak bu işlem elde edilen her yeni dörtgen için sonsuz defa uygulanıyor.

Buna göre oluşturulan tüm bu dörtgenlerin alanları toplamı kaç cm karedir?

Comments

ifadeleri hep köklü buldum

---

$\frac{a_1}{1-r}$ formülünü kullanmamız gerektiğini biliyorum 

---

İlk dikdörtgenden sonra bulunacak diğer dörtgenler birer paralelkenardır. ilk paralelkenarın alanını dikdörtgenin alanı cinsinden, ikinci paralelkenarın alanınıda ilk paralelkenarın alanı cinsinde bulmalısın, böylece elde edilen alan değerlerinin toplamını bulmaya çalış bakalım... 

Answer 1

$$|AB|=3k=9,|BC|=3t=6$$ olsunlar.  $$A(FDG)=A(GAD)=A(DBE)=A(ECF)$$ olduğundan $$A(GDEF)=A(ABCD)-4.\frac{2kt}{2}=9kt-4kt=5kt$$ olur. Yani $$A(GDEF)=\frac 59 A(ABCD)$$ dir. Benzer yolla $$A(KLMN)=\frac 59A(GDEF)$$,.... olur. Eğer en dıştan içe doğru dörtgenlerin sınırladığı alanları $$s,s_1,s_2,s_3,...$$, olarak gösterirsek;

 İstenen alanlar toplamı:$$s+s_1+s_2+s_3+...=s+\frac 59s+(\frac 59)^2s+(\frac 59)^3.s+...$$

$$=s(1+\frac59+(\frac 59)^2+(\frac 59)^3+...)=s\frac{1}{1-\frac 59}=\frac{9.s}{4}=\frac{9.54}{4}=\frac{243}{2}  cm^2$$ olacaktır.