Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
186 kez görüntülendi
Bir $k$ pozitif tam sayısı ve $(a_n)_{n=1,2,...,k-1}$ dizisi için

\begin{equation*}
    S = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n [\frac{a_1}{kn+1} + \frac{a_2}{kn+2} + ... + \frac{a_{k-1}}{kn+(k-1)}]
\end{equation*}

yukarıdaki sonsuz toplamın değerine eşit bir sonlu toplam yazınız.

(Yani bulacağınız sonuç bir $f$ iki değişkenli fonksiyonu için

\begin{equation*}
    S = \sum_{i = 1}^{k-1} a_i f (i,k)
\end{equation*}

şeklinde olmalıdır.)

Buradan hareketle,

\begin{equation*}
    = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n [\frac{1}{4n+1} + \frac{1}{4n+3}] = \frac{\pi}{2\sqrt2}
\end{equation*}

olduğunu gösteriniz
Lisans Matematik kategorisinde (54 puan) tarafından  | 186 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

\begin{align*}
    S &= \sum_{n = 0}^{\infty}  (-1)^n \left(\frac{a_1}{kn+1} + \frac{a_2}{kn+2} + \cdots + \frac{a_{k-1}}{kn+(k-1)}\right)\\&=\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \int_0^1\left({a_1x^{kn}} + {a_2x^{kn+1}} + \cdots + {a_{k-1}x^{kn+(k-2)}}\right)\,dx\\&=\int_0^1\left(\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \left( {a_1x^{kn}} + {a_2x^{kn+1}} + \cdots + {a_{k-1}x^{kn+(k-2)}}\right) \right)\,dx\\&= a_1\int_0^1\left( \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n  x^{kn}\right) \,dx +a_2\int_0^1 \left( \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^nx^{kn+1}\right) \,dx + \cdots +a_{k-1}\int_0^1 \left( \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^nx^{kn+(k-2)}\right) \,dx     
\end{align*}

(3. satırdaki sonsuz toplam ve integralde işlem sırası değiştirmek için yeterli koşullar sağlanıyor.)

(EK: $0\leq x<1$ için) $\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n {x^{kn+i-1}}  =\frac{x^{i-1}}{1+x^{k}} $   olduğundan,
    $ f(i,k)=\int_0^1\frac{x^{i-1}}{1+x^{k}}\,dx $ olmak üzere  
    \[ \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \left( \frac{a_1}{kn+1} + \frac{a_2}{kn+2} + \cdots + \frac{a_{k-1}}{kn+(k-1)}\right) =\sum_{i=1}^{k-1} a_if(i,k)\]  bulunur.

Son eşitlik $\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n [\frac{1}{4n+1} + \frac{1}{4n+3}] = \frac{\pi}{2\sqrt2}$ eşitliği, bu formülü kullanarak, biraz integrasyon tekniği ile hesaplanabiliyor gösterilebiliyor.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Youtube da Michael Penn in kanalında sadece son eşitlik, aynı yöntemle,  bulunmuş.

20,239 soru
21,758 cevap
73,398 yorum
2,062,017 kullanıcı