Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1k kez görüntülendi

$\sum_{i=1}^{\infty} 1$  ve  $\sum_{k=1}^{\infty} 2^{k}$  ıraksak serilerini büyüklük bakımından birbirlerine göre kıyaslayabilir miyiz?


Lisans Matematik kategorisinde (99 puan) tarafından  | 1k kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

İkisi de sonsuza yolculuga çıkmış ve 2 si de ıraksak ancak, birbirlerini kapsayan sonsuzluklar arasınad kıyas yapılabiliniyor.Teoremlere falan da başvurmadan direkt olarak ,

$\forall (i\ge 1) \; 2^i>1$    olduğundan , $\displaystyle\sum_{i=1}^\infty 2^i $ en büyüktür diyebiliriz.

image



Grafikten anlaşılacagı üzre,  ${k\ge1}$  ve $i\ge 1$ için , $2^x$ grafiği  hep üstte kalmış, seriler için integral testleri kullanılabildiğinden ve integral teoremlerinden biri olan,

Bir $[a,b]$ aralığında sürekli olan $f,g$ fonksiyonları için şu sağlanırsa, $\forall x f(x)\ge g(x)$

$\displaystyle\int_a^b f(x) dx \ge \displaystyle\int_a^b g(x) dx$  olur.

Bir anlamda,

$\forall (i\ge 1) \; 2^i>1$

oldugundan,

$\displaystyle\sum_{i=1}^\infty 2^i > \displaystyle\sum_{k=1}^\infty 1$

olur.

(7.9k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Bu güzel cevap için çok teşekkürler!

İlk toplam i=0'dan başlasın, buna üçüncü toplam diyelim. Bu toplam ilk toplamdan büyük olur mu?

@Rimmerian, rica ederim.



@Sercan hocam,

O zaman  $\displaystyle\sum_{i=0}^\infty 1=1+\displaystyle\sum_{i=1}^\infty 1$


olacagından , $+1$ olan artanı ,$\forall k\in \mathbb N^+ \quad2^k$ ,genel terimlerinin en küçük teriminden(2'den) bile küçük eşit oluyor,"tümevarımla ,$k\ge 2$ için $2^k$'ların hepsinin 1+1 den büyük oldugu gosterılebılınır."($2^2>2,2^3>2,.....,2^n>2$)

Ben $\sum_{i=0}^\infty1$ ve $\sum_{i=1}^\infty1$ karsilastirmasini merak ettim. Hangisi daha buyuk?

SKK Ali Nesin kitabında , eşleştirmeler anlatılırken şöyle bir trick verilmişti, 


$A=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty1$  bu da sonsuz tane terim içerir,

$B=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty1$  bu da,

2'sini aynı cins yapıp eşleştirelim, 


$B=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty1$  ile  $A=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty1+1$ yani, $A=B+1$ olur,


$\displaystyle\sum_{i=1}^\infty1$  leri alt alta yazıp eşleştiririz, dolayısıyla


$A=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty1=\underbrace{1+1+1+.........+1+....}_{B}+1$

$B=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty1=\underbrace{1+1+1+.........+1+....}_{B}$

Görüldüğü üzre $A$ daha büyük kalır,

$x\geq2$ bir tam sayı olmak üzere, $\sum_{i=1}^{\infty} 1$  ve  $\sum_{k=1}^{\infty} (k+1)^x$  ıraksak serilerini büyüklük bakımından birbirlerine göre kıyaslamak istersek ne yapmamız gerekir peki?


x=2 olsun yani minimal, 

$(k+1)^2=k^2+2k+1$ , içinde bir 1 var ve diğer 2 terim 0dan büyük, dolayısıyla bu seri hertürlü , soldakinden büyüktür.

Son olarak, cevabınızda yaptığınız gibi ıraksak seriler için yukarıdaki integral teoremini uygulamak her zaman doğru mudur?

cogu zaman ışe yarar ama cogu zaman gereksızdır, eğer dizinin monotonlugunu veya bazı degerlerden sonra monotonlugunu bulabılırsenız ,analız yapmanıza olanak saglar bu monotonluk.

20,247 soru
21,773 cevap
73,414 yorum
2,135,963 kullanıcı