Iraksak Seriler

Question

$\sum_{i=1}^{\infty} 1$  ve  $\sum_{k=1}^{\infty} 2^{k}$  ıraksak serilerini büyüklük bakımından birbirlerine göre kıyaslayabilir miyiz?

Answer 1

İkisi de sonsuza yolculuga çıkmış ve 2 si de ıraksak ancak, birbirlerini kapsayan sonsuzluklar arasınad kıyas yapılabiliniyor.Teoremlere falan da başvurmadan direkt olarak ,

$\forall (i\ge 1) \; 2^i>1$    olduğundan , $\displaystyle\sum_{i=1}^\infty 2^i$ en büyüktür diyebiliriz.

Grafikten anlaşılacagı üzre,  ${k\ge1}$  ve $i\ge 1$ için , $2^x$ grafiği  hep üstte kalmış, seriler için integral testleri kullanılabildiğinden ve integral teoremlerinden biri olan,

Bir $[a,b]$ aralığında sürekli olan $f,g$ fonksiyonları için şu sağlanırsa, $\forall x f(x)\ge g(x)$

$\displaystyle\int_a^b f(x) dx \ge \displaystyle\int_a^b g(x) dx$  olur.

Bir anlamda,

$\forall (i\ge 1) \; 2^i>1$

oldugundan,

$\displaystyle\sum_{i=1}^\infty 2^i > \displaystyle\sum_{k=1}^\infty 1$

olur.

Comments

Bu güzel cevap için çok teşekkürler!

---

İlk toplam i=0'dan başlasın, buna üçüncü toplam diyelim. Bu toplam ilk toplamdan büyük olur mu?

---

@Rimmerian, rica ederim.



@Sercan hocam,

O zaman  $\displaystyle\sum_{i=0}^\infty 1=1+\displaystyle\sum_{i=1}^\infty 1$

olacagından , $+1$ olan artanı ,$\forall k\in \mathbb N^+ \quad2^k$ ,genel terimlerinin en küçük teriminden(2'den) bile küçük eşit oluyor,"tümevarımla ,$k\ge 2$ için $2^k$'ların hepsinin 1+1 den büyük oldugu gosterılebılınır."($2^2>2,2^3>2,.....,2^n>2$)

---

Ben $\sum_{i=0}^\infty1$ ve $\sum_{i=1}^\infty1$ karsilastirmasini merak ettim. Hangisi daha buyuk?

---

SKK Ali Nesin kitabında , eşleştirmeler anlatılırken şöyle bir trick verilmişti, 


$A=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty1$  bu da sonsuz tane terim içerir,

$B=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty1$  bu da,

2'sini aynı cins yapıp eşleştirelim, 


$B=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty1$  ile  $A=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty1+1$ yani, $A=B+1$ olur,


$\displaystyle\sum_{i=1}^\infty1$  leri alt alta yazıp eşleştiririz, dolayısıyla


$A=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty1=\underbrace{1+1+1+.........+1+....}_{B}+1$

$B=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty1=\underbrace{1+1+1+.........+1+....}_{B}$

Görüldüğü üzre $A$ daha büyük kalır,

---

$x\geq2$ bir tam sayı olmak üzere, $\sum_{i=1}^{\infty} 1$  ve  $\sum_{k=1}^{\infty} (k+1)^x$  ıraksak serilerini büyüklük bakımından birbirlerine göre kıyaslamak istersek ne yapmamız gerekir peki?

---

x=2 olsun yani minimal, 

$(k+1)^2=k^2+2k+1$ , içinde bir 1 var ve diğer 2 terim 0dan büyük, dolayısıyla bu seri hertürlü , soldakinden büyüktür.

---

Son olarak, cevabınızda yaptığınız gibi ıraksak seriler için yukarıdaki integral teoremini uygulamak her zaman doğru mudur?

---

cogu zaman ışe yarar ama cogu zaman gereksızdır, eğer dizinin monotonlugunu veya bazı degerlerden sonra monotonlugunu bulabılırsenız ,analız yapmanıza olanak saglar bu monotonluk.