Radon-Nikodym türevi

Question

Biribirine nazaran mutlak sürekli iki ölçününü Radon-Nikodym türevinin efektif hesaplanmasının bariz olmayan örnekleri biliniyor mu?

Answer 1

Cevabım hileli olacak :) 

Eğer $X\subset \mathbb{R}$ bir non-constructible küme ise o zaman standart ölçünün (?measure) bu kümenin karakteristik ölçüsüne göre Rodon Nikodym türevini efektif olarak hesap etmek tanım gereği imkansızdır.

Comments

Hakikaten hileli.. "efektif olarak hesaplanması" değil   "efektif olarak hesaplanamaması" desek olurdu..

Answer 2

$d\mu =f d\nu$ olsun. $I_{k,n} = [k2^{-n},(k+1)2^{-n})$ ve $$f_n(x) = \frac{\mu(I_{k,n})}{\nu(I_{k,n})}\hspace{3mm}\Longleftrightarrow\hspace{2mm} x\in I_{k,n}$$  tanımlayalım. $(f_n)$ dizisi $f$'ye $\nu$-h.h.h. yakınsar.

Eğer $\mu$ bir $X$ rassal değişkeninin, $\nu$ de bir $Y$  rassal değişkeninin olasılık yoğunluk ölçüleri ise, $$\mu(I_{k,n}) = \mathbb{E}(\chi_{I_{k,n}}(X))\hspace{3mm}ve\hspace{3mm} \nu(I_{k,n}) = \mathbb{E}(\chi_{I_{k,n}}(Y))$$ olur. Burada $\mathbb{E}(.)$ beklenen değer; $\chi_I$, $I$ kümesinin üzerinde 1, dışında 0 değeri alan fonksiyondur. $\mathbb{E}(\chi_{I_{k,n}}(X))$'i tahmin (estimate) etmenin en birinci yolu, $X$'in sonlu adette örnek yolunu (sample path) alıp, $\chi_{I_{k,n}}(X)$ 'ların ortalamasını hesaplamaktır: $X_1,\dots, X_m$ örnek yollar ise,  $$\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \chi_{I_{k,n}}(X_i)$$ $\mu(I_{k,n})$'nin bir tahminidir (estimator). Benzer şekilde $\nu(I_{k,n})$'nin tahmini hesaplanıp, oranlarıyla $f$ için bir tahmin inşa edilebilir.

Linkteki makalede, yukarıda anlatılanın ilerisinde ve daha detaylı bilgi mevcuttur: https://projecteuclid.org/euclid.aos/1032894451