$f^n=$ f(x) in n. Mertebeden türevi ve$ f(x)=x^n$
Olmak üzere,
$\dfrac{f'(1)}{1!}+ \dfrac{f''(1)}{2!}+\dfrac{f'''(1)}{3!}+ ....+\dfrac{f^n(1)}{n!}$
İfadesinin eşitini bulun
f(x)=x^n olarak verilmiş. 1'den n'e kadar türevleri bul, x yerine 1 yaz.
Örnek: f ' (x)=n $x^{n-1}$, f ' (1)=n olur.
Bulduklarını sorulan ifadede yerine yaz.
Çözümü yazar mısınız
1.terim n,
2.terimi bulalım.
$ f''(x)=n(n-1) x^{n-2}$, f ''(1)=n(n-1)
Buradan 2.terimi n(n-1)/2 bulmuş olduk.
Devamını getirebileceğini sanıyorum.
$f^i(x)=n(n-1)\cdots(n-i)x^{i-1}$ oldugundan verilen ifadeyi ilk olarak genel $x$ icin yazarsak $$\sum\limits_{i=1}^n\binom nix^{i-1}$$ olur ve $x=1$ icin $2^n-1$ degerine esit olur.
Eyvallah saolun. Bu arada telefonla da olsa latex le yazmaya çalışıyorum.
Eyvallah. Ben de arada tabletle yaziyorum, insan cildiriyor hakkatten. Tesekkurler ugrasin icin.
Digerbir cozum. Seri acilimi geregi $$x^n=\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(1)}{n!}(x-1)^n=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(1)}{n!}(x-1)^n$$ esitligi saglanir. $x=2$ icin $$2^n=1+\sum_{k=1}^n\frac{f^{(k)}(1)}{n!}$$ esitligi saglanir.