Question

Sabit olmayan iki fonksiyonun bileşkesi sabit olabilir mi?

Comments

Eger fonksiyonlar uzerinde bir kisit yoksa oldukca kolay gorunuyor. Acaba unutulmus bir kosul mu var?

---

Oldukça kolay gerçekten,  belki bazı koşullar eklenerek zorlaştırılabilir. Bence bir incelik var bu soruda, o yüzden paylaşmak istedim.

---

O zaman soruyu İlham Aliyev'in yanıtını da göz önüne alarak şöyle zorlaştıralım. Her ikisi de sabit olmayan ve her ikisi de sürekli iki fonksiyonun bileşkesi sabit olabilir mi?

Answer 1

Çok değişkenli fonksiyonlar için örnek bulmak daha kolaydır; örneğin,
\[f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}\]
ve
\[x=\cos t\text{ ve }y=\sin t\]

fonksiyonlarını alalım. Her $t$ için

\[g\left( t\right) =f\left( \cos t,\sin t\right) =1\]
bulunur.

Tek değişkenliler için bir örnek ise şöyle kurulabilir;

\[f\left( x\right) =x^{2}\]
ve

$g(x)$ ise rasyonellerde $1$, irrasyonellerde $-1$ değerini alan bir fonksiyon olsun,
bu durumda her $x$ için
\[f\left( g\left( x\right) \right) =1\]
bulunur.

Answer 2

Her ikisi de  $C^{\infty}\left(\mathbb{R}\right)$ olan bir örnek:

$f(x)=x^2,\ g(x)=\begin{cases}e^{\frac1x}\quad x<0\\0\qquad x\geq0\end{cases}\quad g(f(x))=0\ \forall x\in\mathbb{R}$  (Sanıyorum her ikisi de ($\mathbb{R}$ de) analitik örnek bulunamaz)