Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
8.6k kez görüntülendi

Aynı boyuttaki iki vektörün çarpımını bir skaler olarak tanımladığımızda çok işe yarıyor. Fakat bu tanımı sihirbazlar vermedi matematikçiler verdi. O halde bir açıklaması olmalı. Doğal bir tanımı bir nedeni olmalı. Ayrıca bu vektör çarpımından eldi ettiğimiz skaler değer biricik mi? Hangi anlamda biricik?

Lisans Matematik kategorisinde (66 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 8.6k kez görüntülendi

2 Cevaplar

9 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Burada sanirim bahsettiginiz iki vektorun ic carpimi (ing. inner product, dot product). Ustune ustluk bu vektorlerin yasadigi uzay da onemli. Eger soyut bir vektor uzayindan bahsediyorsak, bu uzayda bir ic carpim olmak zorunda degil. Hatta ic carpim olan vektor uzaylarina ic carpim uzayi diyoruz. Dolayisiyla sorunun \(\mathbb{R}^n\) uzayindaki standart ic carpim uzerine oldugunu varsayiyorum.

Varsaydigim standartligi biraz daha acalim. Birincisi bu uzaydaki vektorleri \(n\) tane sirali gercel sayi olarak goruyoruz; yani \(v\in\mathbb{R}^n\) aslinda \(\vec{v} = (v_1,\ldots,v_n)\). Ikincisi vektorun uzunlugunu, oklid mesafesinden yola cikarak \(\|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2+\cdots+v_n^2}\) olarak tanimliyoruz. Kokun icindeki ifadeye ihtiyacim olacak, o yuzden ona \(Q(\vec{v}) =v_1^2+\cdots+v_n^2 \) diyelim. Simdi \(\mathbb{R}^n\) uzayindaki standart ic carpimi anlamaya haziriz.

Diyelim ki elimizde iki tane dogrusal bagimsiz vektor var, \(\vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^n\), ve birinin digeri uzerine dik izdusumunu hesaplamaya calisiyoruz. Vektorlerimiz \(n\) boyutlu olsalar da iki tane dogrusal bagimsiz vektorun dogrusal karisimlarinin uzayi iki boyutlu olacagindan aslinda sorumuzu bir duzleme indirgeyebiliriz. Dolayisiyla resim soyle:

image
Eger iki vektor arasindaki aciya \(\theta\) dersek, o zaman ucgendeki cosinus formulune gore su cikarimi yapabiliriz.
\[
Q(\vec{b} - \vec{a}) = Q(\vec{a})+Q(\vec{b}) - 2 \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta
\]
Simdi, \(\vec{b}\) vektorunun \(\vec{a}\) vektoru uzerine izdusumune \(\vec{v}\) diyelim. O halde,
\[
\|\vec{v}\| = \|\vec a\| \cos\theta \quad\text{ve}\quad \vec{v} = (\|\vec a\| \cos\theta)\frac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|}
\]
olur (Burada ikinci esitlikte \(\vec{b}\) yonundeki birim vektoru aldik). Dolayisiyla izdusum icin muhim olan buyukluklerden birisi \(\cos\theta\). Simdi birinci formule donersek
\[
\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta = \frac12 \left(Q(\vec{a})+Q(\vec{b}) - Q(\vec{b} - \vec{a})\right)
\]
esitligini cikartabiliriz. Simdi sag tarafi inceleyelim.
\[
\begin{aligned}
Q(\vec{b} - \vec{a}) &= \sum\limits_{i=1}^n (b_i - a_i)^2 \\
&= \sum\limits_{i=1}^n (b_i^2 - 2b_ia_i + a_i^2) \\
&= \sum\limits_{i=1}^n (b_i^2 ) + \sum\limits_{i=1}^n (a_i^2) - 2 \sum\limits_{i=1}^n (b_ia_i)\\
Q(\vec{a})  + Q(\vec{b}) &= \sum\limits_{i=1}^n (b_i^2 ) + \sum\limits_{i=1}^n (a_i^2) \\
\implies Q(\vec{a})  + Q(\vec{b}) - Q(\vec{b} - \vec{a}) &= 2 \sum\limits_{i=1}^n (b_ia_i)
\end{aligned}
\]
Dolayisiyla
\[
\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta = \sum\limits_{i=1}^n (b_ia_i)
\]
esitligini elde ediyoruz. Simdi sag tarafin nimetleri buyuk. Eger \(\langle \vec a,\vec b \rangle = \sum\limits_{i=1}^n b_ia_i \) dersek bu tanim her iki girdiye gore dogrusal, ustune ustluk \(Q(\vec{v}) = \langle \vec v, \vec v \rangle\). Izdusumu ise iccarpimi kullanarak
\[
\vec{v} = (\|\vec a\| \cos\theta)\frac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|} = \frac{\langle \vec a,\vec b \rangle}{\|\vec b\|}\cdot \frac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|}  = \frac{\langle \vec a,\vec b \rangle}{\langle \vec b,\vec b \rangle}\vec b
\]
seklinde guzelce yazabiliyoruz. Umarim bu isin sihre benzer tarafini biraz aciklamistir.

Biriciklik guzel bir soru. Cevaba baslarken dedigim gibi ic carpim vektor uzayina eklenen ve bazi ozellikleri saglayan bir yapi. Ozellikler sunlar
\[
\begin{aligned}
\text{(1)}& \langle\cdot,\cdot\rangle \text{ her iki girdiye gore dogrusal ve simetrik}\\
\text{(2)}& \text{ her vektor \(\vec v\) icin} \langle \vec v,\vec v \rangle \geq 0 \text{ oyle ki esitlik sadece ve sadece } \vec v = \vec 0 \text{ ise dogru.}
\end{aligned}
\]
Bu kurallari saglayan baska bir tane ornek verelim. Diyelim ki \(A\) \(n\times n\) simetrik pozitif bir matris (dogrusal donusum dusunmek istersek self-adjoint olmali) olsun ve \(\{\vec{a},\vec{b}\} = \langle \vec{a} , A\vec{b}\rangle\) seklinde olsun. O halde  \(\{\cdot,\cdot\}\) (1) ve (2)'yi saglar (guzel bir alistirma). Bunlar fizikte (ozellikle mekanikte) genellestirilmis kutle matrisleri ile bir sistemin enerjisini ifade etmekte kullanilirlar.
(74 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Gercekten okumasi cok keyifli bir yanit!

Çok güzel izah etmişsiniz. Teşekkür ederim.

Yalnız cevapta ki ana nokta olmasa da şu kısımda ne demek istediğinizi tam anlayamadım:

''iki tane dogrusal bagimsiz vektorun dogrusal karisimlarinin uzayi iki boyutlu olacagindan...''

Tesekkurler!

Tanim 0 [Dogrusal karisim (ing. linear combination)]:
\(\vec v_1,\ldots,\vec v_n\) vektorleri ve \(a_1,\ldots,a_n\) reel sayilar icin
\[
a_1\vec v_1 + \cdots a_n \vec v_n
\]
vektorune \(\vec v_1,\ldots,\vec v_n\) vektorlerinin bir dogrusal karisimi denir, \(a_1,\ldots,a_n\) reel sayilari da bu dogrusal karisimin katsayilaridir.

Tanim 1 [Dogrusal bagimlilik (ing. linear dependency)]: Eger sifir vektoru, katsayilardan en az biri sifirdan farkli olmak uzere \(\vec v_1,\ldots,\vec v_n\) vektorlerinin bir dogrusal karisimi olarak yazilabiliyorsa, o halde \(\vec v_1,\ldots,\vec v_n\) vektorleri dogrusal bagimlilardir. Eger \(\vec v_1,\ldots,\vec v_n\)  vektorlerinin sifira esit yegane bir dogrusal karisimi varsa (ki bu durumda \(a_1=\cdots=a_n = 0\) olmalidir), o halde \(\vec v_1,\ldots,\vec v_n\)  vektorleri dogrusal bagimsizdir.

Ayni tanim sonlu olmayan sayida vektorden olusan kumeler icin de yapilabilir. Bu durumda dogrusal bagimsizlik, verilen kumenin sonlu tum altkumeleri icin dogrusal bagimsizliga tekabul eder.

Tanim/Lemma 2 [Gerilen Uzay (ing. span)]:  \(\vec v_1,\ldots,\vec v_n\)  vektorlerinin gerdigi uzay, bu vektorlerin butun dogrusal karisimlarindan olusan vektor altuzayidir (neden bir altuzay?).

Tanim 3 [Boyut (ing. dimension)]: Bir V vektor uzayinin boyutu, tum uzayi geren altkumelerin nicelikliklerinin (ing. cardinality) en kucugudur.

Dolayisiyla tanim geregi 2 tane dogrusal bagimsiz vektorle baslarsak, bunlarin gerdigi uzay iki boyutludur. Misal, yukaridaki resimde \(\vec a\) ve \(\vec b\) dogrusal bagimsizdirlardir -cunku iki vektor sadece ve sadece paralellerse dogrusal bagimlilardir (neden?)- ve gedikleri uzay o resmin icinde yasadigi duzlemdir -cunku o duzlem ustundeki her noktaya biraz \(\vec a\) ve biraz \(\vec b\) kullanarak gidebiliriz.

çok güzel evet. eline sağlık

7 beğenilme 0 beğenilmeme

$V$, $K$ cismi üzerine bir vektör uzayı olsun. $V$ üzerine diklik kavramını tanımlamak istiyoruz. Bunu şöyle yapmaya çalışalım: Bir $f: V \times V \longrightarrow K$ fonksiyonu seçelim ve $f(v, w)=0$ ise $v$ ile $w$ vektörlerinin dik olduğunda anlaşalım. Bu diklik kavramının bir işe yaraması için, daha doğrusu diklik ile ilgili sezgilerimizle uyuşması için $f$'den bazı beklentilerimiz olmalı.

1. $v$'ye dik olan iki vektörün toplamı da $v$'ye dik olmalı. (Burada 3 boyulu uzayda düşünün.) Bu sorun $f(v, w_1 + w_2) = f(v, w_1) + f(v, w_2)$ eşitliğiyle çözülür.

2. Eğer $v$, $w$'ye dikse, $v$'lerin katları da $w$'ye dik olmalı. Bu sorun $f(\alpha v, w) = \alpha f(v, w)$ eşitliğiyle çözülür.

3. Sezgilerimize göre $v$, $w$'ye dikse, $w$ de $v$'ye dik olmalı. Yani $f(v, w) = 0$ ise, $f(w, v)=0$ olmalı. Bu sorun $f(v, w)=f(w,v)$ eşitliğiyle çözülür.

Bu üç eşitliği sağlayan $f : K \times K \longrightarrow K$ fonksiyonlarına çifte lineer simetrik fonksiyonel adı verilir. Yukarıdaki koşullar sayesinde bir $v$ vektörüne dik vektörler -olması gerektiği gibi- bir altuzay oluştururlar.

4. $0$ vektörü dışında hiçbir vektör tüm vektörlere dik olmamalıdır. (Kendi dahil her vektöre dik vektörler gereksizdir. Onlar olmasa da olur.) Bu da $f(v, V)=0 \implies v=0$ önermesiyle çözülür. Bu koşulu sağlayan çifte lineer simetrik fonksiyonellere dejenere olmayan çifte lineer fonksiyonel adı verilir.

5. Eğer bir $g$ ve $f$ çifte lineer fonksiyonnel bir $u \in Aut_K(V)$ için $f(v, w) = g(u(v), u(w))$ eşitliğini sağlıyorsa, özünde, $g$ ile $f$ arasında bir fark yoktur. Bu tür fonksiyonellere birbirine denk diyelim. Bu, gerçekten bir denklik ilişkisidir.

Soru: Verilmiş bir $V$ vektör uzayı için, çifte lineer simetrik ve dejenere olmayan fonksiyonların denklik sınıflarını bul.

Bu soru $V$'nin boyutu ve $K$'ya göre değişir. $K=\mathbb{R}$ ise ve $V$'nin boyutu $n$ ise yanıt $n+1$'dir. Eğer $K=\mathbb{C}$ ise ya da cebirsel kapalı herhangi bir cisimse, hatta her elemanının karekökü olan bir cisimse yanıt hep 1'dir. Eğer $K=\mathbb{F}_q$ karakteristiği 2 olmayan sonlu bir cisimse yanıt 2'dir. $K$'nın kesirli sayılar kümesi olduğu durum için herhangi bir orta seviyede sayılar kuramı kitabına bakabilirsin. Ama genel olarak sorunun yanıtı bilinmemektedir ve çok zordur. 

Eğer ayrıca iki vektörün ne derece dik olduklarını anlamakistiyorsan, yani $f(v, w)$'nin ne kadar 0'a yakın olduğunu bilmek istiyorsan, o zaman $K$'nın sıralı bir cisim olması gerekir.

6. Eğer $K$ sıralı bir cisimde ve her $v \neq 0$ için $f(v,v)>0$ oluyorsa, $f$'ye pozitif form denir. Gerçel sayılar kümesi üzerine sonsuz tane pozitif form vardır, ama hepsi birbirine denktir. Bunlardan biri de hepimizin liseden beri bildiği Öklid geometrisinin formudur.

Bütün bunlardan çıkan ilginç felsefi sonuç: Diklik kavramı mutlak değildir, seçilen $f$'ye (daha doğrusu denklik sınıfına) göre değişir.
(904 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
'Gerçel sayılar kümesi üzerine sonsuz tane pozitif form vardır, ama hepsi birbirine denktir.'
Bu kısmı tam anlamadım. n+1 tane simetrik, dejenere olmayan bilineer formlardan sadece 1 tanesi mi pozitif forma sahip? Köşegeninde ki tüm girdileri 1 olan bir matris formunu düşündüğümüz de burdan n+1 tane form olduğunu görüyoruz. 6. maddede ki tanımdan bunların da hepsinin birbirine denk olduğunu nasıl çıkardık?

$\mathbb{R}^n$ üzerine dejenere olmayan her simetrik form diyagonalde $i$ tane $-1$, $n-i$ tane 1 olan bir matrisle verilen forma denktir. Burada $i = 0, 1, \ldots, n$ olabilir. Dolayısıyla denk olanları saymazsak, $\mathbb{R}^n$ üzerine dejenere olmayan tam $n+1$ tane simetrik form vardır. Bunlardan sadece diyagonalde sırf 1 olan form pozitiftir elbette ($i=0$ durumu).

Alterne formların geometrik anlam ve önemi
20,205 soru
21,729 cevap
73,289 yorum
1,890,811 kullanıcı