İki vektörün birbiri üzerindeki izdüşümler çarpımı $1$'den küçükeşit midir?

Question

Aslında kanıtlamak istediğim şey Schwartz Eşitsizliği. Yani her $v,w \in V$ için  $|< v,w >| \leq$ $||v||$ $||w||$.

Şöyle başladım : Tanım gereği, $||v|| = \sqrt{< v,v >}$ olduğundan,

 

                                          $||v||$  $||w||$ $= \sqrt{< v,v >< w,w >}$

olur. Kanıtlamak istediğimiz eşitsizliğin iki tarafı da pozitif olduğundan aynı eşitsizliği iki tarafın karesini alarak da gösterebiliriz. Yani :

                                         $< v,w >$  $< v,w >$  $\leq$  $< v,v >$  $< w,w >$   

olduğunu, yani                                  

                                         $\frac{< v,w >}{< w,w >}$ $\cdot$ $\frac{< w,v >}{< v,v >}$ $\leq 1$

oldğunu göstermeliyiz. Bu da $v$'nin $w$'deki izdüşümü ile $w$'nin $v$'deki izdüşümünün çarpımının $1$'den küçük olduğunu söylüyor. Bunu nasıl kanıtlarız?

Comments

İlgili.http://matkafasi.com/78322/lineer-cebir-giris-minkowski-esitsizligi?show=78322#q78322

---

Neresi ilgili?

---

Gec geldim ama umarim calisir

$\langle x,y\rangle = \| x\| \|y\| \cos(\alpha)$ ozdesligini kullanicam.$\alpha$ burada $x$ ila $y$ arasindaki aci.

 

$\frac{\langle x,y\rangle}{\langle x,x\rangle} \cdot \frac{\langle y,x\rangle}{\langle y,y\rangle} =\frac{\| x\| \|y\| \cos(\alpha)}{\| x\| \|x\| \cos(0)} \cdot \frac{\| y\| \|x\| \cos(\alpha)}{\| y\| \|y\| \cos(0)} = \cos^2(\alpha) \leq 1$