Lineer Cebir - Giriş - Minkowski Eşitsizliği

Question

$u=(u_1,\cdots,u_n)$ için

\[\|u\|=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n u_i^2}\] olmak üzere

\[\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|\] olduğunu gösteriniz.

Comments

geçen sorucaktım ama vikipedide kanıtı var diye sormadım
https://tr.wikipedia.org/wiki/Minkowski_e%C5%9Fitsizli%C4%9Fi

---

Buraya aktar, burada da olsun. Senin icin sordum soruyu zaten. 

---

hocam p=2 iken mutlak'ını buluyoruz, p=3 olsaydı neyı bulucaktık? işlevi ne olurdu?

---

Neyin mutlagini buluyoruz? Sorularini genisletmen mumkun mu?

---

1)genişletmek derken açıklama bâbında mı?

2)n=2 ve p=2 iken x,y koordinattaki bir noktanın orjıne uzaklıgına mutlak dıyoruz,

3)n=3 ve p=2 iken x,y,z koordinattaki bir noktanın orjıne uzaklıgını buluyoruz ve buna da mutlak dıyelım
:
:
k)n=n ve p=2 iken  $\underbrace{x,y,z,.........,}_{n\;tane}$ koordinattaki bir noktanın orjıne uzaklıgını buluyoruz ve buna da mutlak  dedim.

---

Bunlara norm deniliyor, hepsine. Norm olabilmesi icin, bazi sartlari saglamsi gerekiyor, bu da bu sartlardan birisi, ucgen esitsizligi. Su an bunu daha gostermedigimizi varsayarsak buna norm da diyemeyiz, cunku norm olabilmesi icin ucgen esitsizligi sart. 

Wiki - Norm

---

hocam devamı gelicek mi? 

---

Gelecek...         

---

teşekkürler, sevgiler ,saygılar ,selamlar

---

hocam devamı gelmedı :(

Answer 1

$||u+v||=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n (u_i+v_i)^2}=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i^2+\displaystyle\sum_{i=1}^n v_i^2+2.\displaystyle\sum_{i=1}^nu_i.v_i }$


$(||u+v||)^2=\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i^2+\displaystyle\sum_{i=1}^n v_i^2+2.\displaystyle\sum_{i=1}^nu_i.v_i $

$-------------------------$

$||u||+||v||=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^nu_i^2}+\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^nv_i^2}$


$(||u||+||v||)^2=\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i^2+\displaystyle\sum_{i=1}^n v_i^2+2.\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^nu_i^2.\displaystyle\sum_{i=1}^nv_i^2} $


$(||u+v||)^2$   ve      $(||u||+||v||)^2$  ifadelerinde  $\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i^2+\displaystyle\sum_{i=1}^n v_i^2$  ortak oldugundan

 
$2.\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^nu_i^2.\displaystyle\sum_{i=1}^nv_i^2} $    ve     $2.\displaystyle\sum_{i=1}^nu_i.v_i $  arasındaki ilişkiyi incelemek gerekir .

bu ifadeler tam olarak "Cauchy Eşitsizliğidir" 

http://matkafasi.com/78388/mathbb-displaystyle-right-cauchy-esitsizligi-kanitlayin

buradan yola çıkarak

$(||u+v||)^2\le (||u||+||v||)^2$  buluruz ve $||u+v||$ her zaman pozitiv olduğundan rahatça karaköklerini alabiliriz ve dolayısıyla.



$\boxed{\boxed{\boxed{||u+v||\le ||u||+||v||}}}$  ispatlanır $\Box$