MATRİS

Question

$K=\big\{n \times n \ reel \ elemanlı  \ A \ matrisi \  : det(A)=1\big\}$ , kümesinin belirli bir özelliği varmıdır? özellikle $2 \times 2$ boyutlu $K$  matrislerinin kullanım alanları nelerdir ? , Bu matris kümesinin özelliklerini temelden zirveye kadar anlatan kaynaklar varmıdır?

Comments

"Modular forms" olabilir.

---

Dönme ve yansıma grupları başlığıyla inceleme yapabilirsiniz. 

Answer 1

Matematiksel olarak bilmem, ama Fizik'te, Klâsik Mekanik konusunda faz uzayının bir genelleştirilmiş koordinat takımı $(q_1, q_2, \dots, q_n, p_1, p_2, \dots, p_n)$'den bir diğerine geçince, hareket denklemlerinin değişmez kalması için veyâ denk şekilde, bu dönüşümün "kanonik" olması için bu dönüşümün Jacobian matrisinin determinantının 1 olması gerekir ve yeter.

Not: Burada $n$ sistemin serbestlik derecesidir; yâni mekanik sistemi tasvîr eden değişkenlerin minimum sayısı. $q_i$ genelleştirilmiş koordinat, ve $p_i$ genelleştirilmiş momentumdur.

Answer 2

Hacim değiştirmeyen lineer dönüşümler olsa gerek. $n$ boyutlu uzayda bir bölgenin bu dönüşümler altındaki görüntüsünün hacmi orjinal bölge ile aynıdır. Ama bu dönüşümler bölgenin şeklini korumazlar.

Örneğin 2 boyutta $x^2+y^2\leq 1$ dairesel bölgesinin $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{array} \right)$ matrisi altındaki görüntüsünü bulun ve çizin, ne demek istediğimi daha iyi görürsünüz. $x$ ekseni boyunca çekiştirilerek uzatılmış, $y$ ekseni boyunca da sıkıştırılmış bir çember; yani bir elips bulmalısınız.

Answer 3

$K$ ile temsil ettiğiniz küme herhangi bir cisim üzerinde tanımlabiliyor ve "$özel$ $lineer$ $grup$" olarak da biliniyorlar. Hatta da bağlacı fazla bile :) kerem.altun'un da bahsettiği üzere hacim değiştirmeyen dönüşümlerin grubudur. Bir $V$ vektör uzayı olmak üzere $T:V \rightarrow V$ lineer dönüşümünün (matrisinin) determinantı

 $\det T = \frac{Vol(T(v_1),T(v_2), \ldots , T(v_n))}{Vol(v_1, v_2, \ldots , v_n)}$

ile hesaplanabilir, ki determinant fonksiyonu, bu $v_i$'lerin lineer bağımsız olduğunu varsayarak, bu vektörlerin oluşturduğu şeklin hacmini de bize veriyor. Elbette ki bu oranın $1$ olması, $T$'nin bahsettiğimiz grubun bir elemanı olması demek oluyor.

Bu arada bahsetmeden duramayacağım :) Yine bir vektör uzayında, $O(n)$ (ortogonal$ $ grup)'un elemanlarının vektör uzayındaki dejenere olmayan simetrik bilineer formların kimyasını bozmadığı, dolayısıyla da tanımlı herhangi normu da bozmadığı ve $O(n)$'in elemanlarının determinantlarının $\pm 1$ olduğunu düşünürsek, özel lineer grup ile ortogonal grup arasında bir ilişki olduğunu söylemek mümkün.  Bu yüzden, özel lineer grup, bir yapının hacmini koruyan, vektörler arasındaki açıyı koruyan, dönme ve yansıma dönüşümlerinin bir kısmının (hepsinin demek doğru olur mu bilemedim, ustalar bi el atsın burada) oluşturduğu kümedir. Handan anahtar kelimeleri vermiş, ganimetleri o bölgede bulabilirsiniz.