$X$=$\emptyset$ ve $r$ $\in$ $\mathbb{R}$ ise $r$ $\emptyset$=$\emptyset$+$r$=$\emptyset$ eşitliklerini kanıtlayın.

Question

Tanım. Eğer $X\subseteq \mathbb{R}$ ve $r,s$ $\in$ $\mathbb{R}$ ise, $X+r$, $X-r$, $rX$ kümeleri şöyle tanımlanır:

$X+r$={$x+r$: $x \in X$}

$X-r$={$x-r$: $x \in X$}

$rX$={$rX$: $x \in X$}.

Soru: $X$=$\emptyset$ ve $r$ $\in$ $\mathbb{R}$ ise $r$ $\emptyset$=$\emptyset$+$r$=$\emptyset$ eşitliklerini kanıtlayın.

Benim kanıtım:  $X$=$\emptyset$ olduğu için,

                                             $rX=X+r=X$

olarak yazabiliriz, yani,

                            {$rX$: $x \in X$}={$x+r$: $x \in X$}=$X$

olduuğunu göstermeliyiz. $X$ boşküme olduğu için boşkümenin her elemanını  hangi gerçel sayıyla çarparsam çarpayım gene boşküme elde ederim (NEDEN?). Benzer olarak, boşkümenin her elemanını hangi gerçel sayıyla toplarsam toplayım gene boşküme elde ederim (NEDEN?). Bu da istenileni kanıtlar.

Başka nasıl kanıtlayabiliriz?

Comments

Belki kontrapozitifini kanıtlamak daha güzel olur, yazım açısından.

---

Soyle mi: $rx=a \in rX$ bir reel sayi olsa $\frac ar\in X$ olmali olur. O zaman $rX \ne \emptyset$ ise $X \ne \emptyset$ olur.

Tabi burada su da var: $r^{-1}(rX)=X$ mi? ya da $r^{-1}(rX)\subseteq X$ mi?

---

@Ozgur Kontropozitifini nasıl yazarız?

@Sercan anlamadım.