Question

$\mathcal{H}$,düzlemin şu özelliği olan bir çemberler kümesi olsun:$\mathcal{H}$'de,$x$ ekseni üzerindeki

her noktaya teğet bir çember vardır.$\mathcal{H}$'de, kesişen en az iki çember olduğunu kanıtlayın.

Eğer özelliği, "$\mathcal{H}$'de,$x$ekseni üzerindeki her noktadan geçen en az bir çember vardır"olarak

alırsak aynı sonuç doğru olmaz;nitekim $\mathcal{H}$'yi , $r>1$ için,$(0,r)$ merkezli , $2r-1$ yarıçaplı

çeberler kümesi olarak seçebiliriz.

$----------------$

Benim düşüncem;

Eğer bir şey, çember ise , o şey bir nokta değildir dolayısıyla x eksenıne teğet alabılecegımız çemberler nokta olmadığı ,çember olduğu sürece teğet noktalardan sağa ve sola doğru bir miktar çıkıntı yapacak vs. vs . ama sorunun yorum kısımı benım düşüncemle yakından uzaktan alakası yok gibi.Nasıl düşünmeliyim?

Answer 1

Çemberlerin kesişmediğini varsayalım.

Her $t\in\mathbb{R}$ için $x$-eksenine $t$ koordinatlı noktada teğet olan çemberin içinde, koordinatları rasyonel olan bir $P_t$ noktası seçelim ($\mathbb{Q}$ nun $\mathbb{R}$ de yoğun oluşunu kullanarak yapabiliriz). farklı $t$ değerleri için (çemberler kesişmediğinden) bu noktalar  farklı olacaktır. (çemberler iç-içe olamaz çünki, o durumda ikisi birden $x$-eksenine teğet olamazlar)

Bu da bize bir $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{Q}\times\mathbb{Q},\quad t\mapsto P_t$ BİRE-BİR  fonksiyonu tanımlar. Ama $\mathbb{R}$ sayılamaz bir küme,  $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ sayılabilir bir küme olduğundan bu imkansızdır. 

Çelişki.

Comments

Hocam teşekkürler aslında benim azıcık sezebildiğim şey birazcık doğruymuş.

sanıyorum tek taşla 2 çürütme yaptınız

Her $t$ reel sayısına karşılık bir rasyonel sayı vardır dedık (hatta 1den de fazla) ve birşekilde $R$ yi $Q$ la eşledik, ama $R$ yoğun oldugunda  $Q$ ile eşlenemediğinden çelişki elde ettik (1)


Her $t$ reel sayısına karşılık , çember içindeki x eksenine paralel olan çap kirişinin üstünde $t$ den daha çok sayı bulduk yani, $Q$ nun $R$ den daha büyük oldugunu bulduk ve gene çelişki elde ettik(2)

Biliyorum aynı sayılabilir ama bence bıraz farklı  2çelişki de diyebiliriz.

$\boxed{\text{Elinize Sağlık}}$