{{$x$},{$x,y$}}={{$z$},{$z,t$}} ise $x=z$ ve $y$=$t$ olduğunu gösterin.
Kanıt. $x\neq y$ ve $z\neq t$ olsun. O zaman {{$x$},{$x,y$}} kümesinin küme eşitliği aksiyomundan dolayı iki elemanı vardır: {$x$} ve {$x,y$}. $x\neq y$ olduğundan ve küme eşitliği aksiyomundan dolayı {$x,y$} kümesinin iki elemanı vardır: $x,y$. Benzer şekilde, {{$z$},{$z,t$}} kümesinin küme eşitliği aksiyomundan iki elemanı vardır: {$z$} ve {$z,t$}. {$z,t$} kümesinin ise aynı nedenlerden iki elemanı vardır: $z$ ve $t$.
Şimdi, diyelim ki {$x$}={$z,t$}. Ama, biri bir elemanlı diğeri ise iki elemanlı küme, demek ki eşit değilmiş, demek ki $x$=$z$ imiş. O zaman, yine küme eşitliği aksiyomundan, {$x,y$}={$z,t$} olur, yani, $y$=$t$.
Son olarak, $x=y$ ve $z=t$ eşitliğini varsayalım, o zaman, küme eşitliği aksiyomundan, hem {{$x$},{$x,y$}} kümesinin hem de {{$z$},{$z,t$}} kümesinin bir elemanı vardır, yani $x=y=z=t$.
NOT: Kanıtımı inceleyebilir misiniz?