Question

Sonsuz bir alani dondurdugumuzde elde ettigimiz hacim de sonsuz mu olur?


Soruyu soyle guzellestirmeye calisayim: Elimizde $x$ ekseninin uzerinde bir egri olsun ve altinda kalan alan (integrali) sonsuz olsun. Bu egriyi $x$ eksenine gore dondurerek elde edecegimiz hacim de sonsuz mu olmali?

Ustteki soru daha genel tabii ki, fakat demek istedigimi canlandirmaya calistim.

Comments

Bir ekleme yapayım: Oluşan cismin yüzey alanı da sonsuz mu olur?

Answer 1

İlk olarak harmonik serileri ve harmonik genel terimli integrali düşünelim bu integral ıraksaktır.Ama hacim almak için karesini aldığımızda $\dfrac{1}{n^2}$ genel terimine kavuşur ki bu da p-testi gereği yakınsaktır ve bu soruya örnek teşkil eder...

$\displaystyle\int_a^b\pi.[f(x)]^2dx$    bize, x ekseni etrafında döndürülen f eğrisinin  eksen arasında kalan  hacmini verirdi buradan yola çıkarak...

Genel çözüm için kareleri ;$(\dfrac{1}{n^p})^2$  bu denklemde $2p>1$ için sağlanan ıntegraller yakınsaktır demekki $1 \ge p>1/2$  olmalıdır.

$1 \ge p>1/2$  için  genel olarak;

$\displaystyle\int_{a\in\mathbb{R^+}}^{\infty}\left(\dfrac{1}{x^p}\right)dx$   iken ıraksak

$\displaystyle\int_{a\in\mathbb{R^+}}^{\infty}\pi.\left(\dfrac{1}{x^p}\right)^2dx$  yakınsaktır deriz

Başlangıç için reel kümede herhangi bir sayı seçseydik o zaman;

$a\in\mathbb{R^-}$   ve  $b\in\mathbb{R^+}$  olsun

$\displaystyle\int^\infty_a \left(\dfrac{1}{x^p}\right)dx$  Alan için

$\displaystyle\int^0_a \left(\dfrac{1}{x^p}\right)dx+\displaystyle\int^b_0 \left(\dfrac{1}{x^p}\right)dx+\displaystyle\int^\infty_b \left(\dfrac{1}{x^p}\right)dx$  ıraksak

$\displaystyle\int^\infty_a\pi.\left(\dfrac{1}{x^p}\right)^2dx$  yani hacim için

$\displaystyle\int^0_a \pi.\left(\dfrac{1}{x^p}\right)^2dx+\displaystyle\int^b_0 \pi.\left(\dfrac{1}{x^p}\right)^2dx+\displaystyle\int^\infty_b \pi.\left(\dfrac{1}{x^p}\right)^2dx$ yakınsak

olur

Comments

$a \in \mathbb R$ degi $a>0$ olmali. Cunku sifir civarindaki hacim de sonsuz.

---

$a\in\mathbb{R}\neq0$ desek olur ve 0 a kadar olanlarla 0 dan sonra olanları ayırırız

http://matkafasi.com/73908/%24-int_-infty-infty-frac-x-1-x-2-dx%24?show=73908#q73908 

ve olur

---

-1 alinca yine sifirdan gecer.

---

tamam işte lınkı oyuzden attım ,ayırıcaz.

$a\in\mathbb{R^-}$   ve  $b\in\mathbb{R^+}$  olsun

$\displaystyle\int^\infty_a f(x)dx$ diye tanımlanmışsa

$\displaystyle\int^0_a f(x)dx+\displaystyle\int^b_0 f(x)dx+\displaystyle\int^\infty_b f(x)dx$ yapacaz

---

a,0
0.b
b,sonsuz

olarak ayirman gerekir  ve "0,b" araliginda hacim de iraksak olur.

---

ya yemın ederım byi yazdım sonra dedım nıye yazdım sıldım:) kafa gidip gidip geliyor uyuyayım en iyisi:)

---

düzelttim               

---

Cevapta da duzeltseydin :)

---

düzelttim ve 3 e ayırdım sonuçları kontrol edermisiniz. teşekkürler

---

Tamam da $0,b$ kismi icin $1/n^{2p}$ iraksak oluyor. Bunu iyorum kactir, dedigim bu, demek istedigim aslinda tam da bu, buydu demek istedigim. Yani sonuncusu kesinlikle iraksak.