Kisa cevap: Evet. Ama neden?
Eger $f$ fonksiyonu $[a,b]$ kapali araligi uzerinde surekli bir fonksiyon ise $\int_a^bf(x)dx$ sonludur (Kalkulusun Temel Teoremi).
Tanim kumen sonsuz, ya da bu kapali aralikta $f$'in surekli olmadigi (en az) bir yer var ise ne olur? Teker teker inceleyelim.
Tanim kumenin $[a, \infty]$ oldugunu varsayalim. Diger durumlari da buna benzer bir sekilde yapabilirsin (eger sinirlarin $- \infty $ ve $\infty$ ise dikkatli olman gerekir). $f$'de bu aralikta surekli olsun diyelim. O zaman $\int_a^\infty f(x)dx$ integrali $$\int_a^\infty f(x)dx := \lim_{b \to \infty} \int_{a}^bf(x) dx$$ olarak tanimlanir. Burada limitin icindeki ifade her $b > a$ icin Kalkulusun Temel Teoremi geregi sonludur. Yani integralin sinirlarindan bir tanesi sonsuz ise, bu gercekten de bir limit ifadesidir. Zaten Riemann integralini nasil tanimladigina bakacak olursan, orada sonsuz yazmasinin tek basina bir anlami yok. Demek ki burada zaten bir limitten soz ediyorsun. Integralin yakinsak/iraksak olmasi, bu limitin yakinsak/iraksak olmasi demek.
$f$ fonksiyonunun $[a,b]$ araliginda surekli olmadigi bir $c$ noktasi olsun diyelim (ve bu tek sureksizlik noktasi olsun). O zaman da $\int_a^b f(x) dx$ integralini $$\int_a^b f(x) dx := \lim_{\epsilon \to 0} \left( \int_a^{c - \epsilon} f(x)dx + \int_{c + \epsilon}^b f(x) dx \right)$$ olarak yazabilirsin. Limitin icindeki ifade, yine Kalkulusun Temel Teoremi geregi, her uygun $\epsilon$ icin sonludur. Ve bu limitin yakinsak/iraksak olmasi, integralin yakinsak/iraksak olmasi demektir.