Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
545 kez görüntülendi


Lisans Matematik kategorisinde (7.8k puan) tarafından  | 545 kez görüntülendi

Ek kaynak,          image

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$\int_{-1}^2\frac1x\,dx$ integralini düşünelim.

Bu gibi (fonksiyon (="integrand" 0 yakınında sınırsız olduğundan)  integrallere "özge integral","has olmayan integral" veya (İngilizceden gelme) "impropr integral"  gibi adlar (ingilizce "improper integral")

veriliyor.

Bunlar için serilerdekine benzer bir yakınsaklık tanımı var ama o tanıma göre ($\displaystyle\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac1x\,dx$ ve $\displaystyle\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_\varepsilon^2\frac1x\,dx$ limitleri var olmadığı için) ıraksak oluyor. 

Ama bir hile ile integralleri birleştirdiğimizde toplamın limit var oluyor.

Ama $\displaystyle\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac1x\,dx+\int_\varepsilon^2\frac1x\,dx$ limiti var (bulması zor değil)

 Bu limite, $\int_{-1}^2\frac1x\,dx$ integralininin "esas değeri" (principal value) deniyor.

Böyle bir çok integral var.

Serilerde de benzer durum olabiliyor. Örneğin  (DÜZELTME)

$$\sum_{-\infty}^{+\infty}\frac1{n+\frac12}$$

serisinde de benzer durum oluyor. Ayrı ayrı 

$$\sum_{-\infty}^0\frac1{n+\frac12} \textrm{ ve } \sum_1^{+\infty}\frac1{n+\frac12}$$

serilerini her ikisi de ıraksaktır. Bu nedenle (standart tanıma göre) 

$$\sum_{-\infty}^{+\infty}\frac1{n+\frac12}$$ ıraksaktır. Ama

$$\lim_{N\to+\infty}\sum_{n=-N}^{N}\frac1{n+\frac12}=0$$ dır.

Benzer durum:

$$\sum_{n\in\mathbb{Z}}n$$ de de oluyor.

(5.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Harmonik seri yakınsaktır demişim, elbette ki ıraksaktır. Düzelttim.

Hocam elinize sağlık, ama zaten tam olarak kavrayamadıgım olay da bu eş olan sonsuz diye bir kavram ortaya çıkıyor sanırım. $\infty-\infty$ tanımsız/belirsiz diyoruz ama toplam formuna sokarsak 0 mı buluyoruz.Gerçekten çok ilginç ve güzel .

Seri örneğinde bir saçmalık vardı düzelttim.

Aynen hocam $n=0$ için $1/n$ tanımsız oluyordu , şimdi daha güzel gözüküyor.teşekkürler.

19,701 soru
21,398 cevap
71,866 yorum
213,915 kullanıcı