Limit, Sağdan Limit ve Soldan Limit

Question

$A\subseteq\mathbb{R}, \,\ f\in \mathbb{R}^A, \,\ a\in D(A\cap (-\infty,a))\cap D(A\cap (a,\infty))$  ve  $L\in\mathbb{R}$  olmak üzere

$$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to a^-}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=L$$ olduğunu gösteriniz.

Comments

$D(kume)$ ne anlama geliyor?

---

hocam $D(A\cap(-\infty,a))$   buradaki D nin anlamı ne içeriye etkisi nedir?

---

$$D(A):=\{x|x, A\text{'nın yığılma noktası}\}$$

---

ipucu var mı murad hocam

---

Limit, sağdan limit ve soldan limit tanımlarından kolayca ispatlayabilirsin Anıl.

---

yıgılma noktası kafamı karıştırdı tam işlevi nedir tanım var mı hocam.

---

http://matkafasi.com/35335/demektir-dizinin-noktasi-kumenin-yigilma-noktasi-kavramlari varmış tamam hocam ınceleyıp cevap atmaya calısıcağım ,teşekkurler

Answer 1

Gerek Kısmı: $\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$ ve $\epsilon>0$ olsun. 

$\left.\begin{array}{rr} \epsilon>0 \\ \\ \lim\limits_{x\to a}f(x)=L \end{array}\right\}\Rightarrow  (\exists\delta>0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$

$\Rightarrow (\exists\delta>0)\forall x(x\in A\Rightarrow [x\in (a-\delta,a)\cup (a,a+\delta)\Rightarrow f(x)\in (L-\epsilon,L+\epsilon)])$

$\Rightarrow (\exists\delta>0)\forall x(x\in A\cap [(a-\delta,a)\cup (a,a+\delta)]\Rightarrow x\in f^{-1}[(L-\epsilon,L+\epsilon)])$

$\Rightarrow (\exists\delta>0)( A\cap [(a-\delta,a)\cup (a,a+\delta)]\subseteq f^{-1}[(L-\epsilon,L+\epsilon)])$

$\Rightarrow (\exists\delta>0)(f[A\cap [(a-\delta,a)\cup (a,a+\delta)]]\subseteq (L-\epsilon,L+\epsilon))$

$\Rightarrow (\exists\delta>0)(f[A\cap (a-\delta,a)]\subseteq f[A\cap [(a-\delta,a)\cup (a,a+\delta)]]\subseteq (L-\epsilon,L+\epsilon))$

$\Rightarrow (\exists\delta>0)(f[A\cap (a-\delta,a)]\subseteq (L-\epsilon,L+\epsilon))$

O halde $$\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=L$$ olur. Ayrıca $$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=L$$ olduğu da benzer şekilde gösterilir.

Yeter Kısmı: $\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=L$  ve  $\epsilon>0$  olsun.

$\left.\begin{array}{rr} \epsilon>0 \\ \\ \lim\limits_{x\to a^-}f(x)=L \end{array}\right\}\Rightarrow  (\exists\delta_1>0)(f[A\cap (a-\delta_1,a)]\subseteq (L-\epsilon,L+\epsilon))\ldots (1)$

$\left.\begin{array}{rr} \epsilon>0 \\ \\ \lim\limits_{x\to a^+}f(x)=L \end{array}\right\}\Rightarrow  (\exists\delta_2>0)(f[A\cap (a,a+\delta_2)]\subseteq (L-\epsilon,L+\epsilon))\ldots (2)$

$\delta:=\min\{\delta_1,\delta_2\}\ldots (3)$

$\left.\begin{array}{rr}(1),(2),(3)\Rightarrow (\exists\delta>0)(f[A\cap (a-\delta,a)]\cup f[A\cap (a,a+\delta)] \subseteq (L-\epsilon,L+\epsilon)) \\ \\ f[A\cap (a-\delta,a)]\cup f[A\cap (a,a+\delta)]=f[A\cap [(a-\delta,a)\cup (a,a+\delta)]]\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (\exists\delta>0)(f[A\cap [(a-\delta,a)\cup (a,a+\delta)]] \subseteq (L-\epsilon,L+\epsilon)).$

Comments

İspat zincirinde bazı eksikler var. Geniş bir zamanda tekrar ele alacağım.

---

Şimdi daha iyi oldu.