Kompleks Duzlemde Bir Orten Fonksiyon Sorusu ($ze^z$)

Question

Sorum: $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ fonksiyonu $f(z) = ze^z$ olarak verilmis olsun. Bu fonksiyonun orten oldugunu nasil gosterebilirim?

Gozlemlerim:

1) Eger $a \in \mathbb{C}$ goruntu kumesinde ise, yani $f(z_0) = z_0 e^{z_0} = a$ olacak sekilde bir $z_0$ var ise, o zaman $\overline{a}$ da goruntu kumesindedir. Cunku,

$$\overline{a} = \overline{z_0e^{z_0}} = \overline{z_0} \overline{e^{z_0}} = \overline{z_0} \overline{e^{x_0 + iy_0}} = \overline{z_0} \overline{e^{x_0}} \overline{e^{i y_0}} = \overline{z_0} e^{x_0}e^{-iy_0} = \overline{z_0} e^{\overline{z_0}} = f(\overline{z_0}).$$

2) $f$ butun kompleks sayilar uzerinde tanimli ve analitik. Ayrica bariz bir sekilde sabit fonksiyon degil. Picard'in teoremi sunu soyluyor: $f$ en fazla bir noktayi iskalayabilir. Bunu ilk gozlemimizle birlestirirsek iskalama ihtimali olan tek nokta bir reel sayi. Ayrica biraz reel sayilarda kalkulus kullanarak eger boyle bir nokta varsa bu sayinin $\frac{-1}{e}$'den kucuk olmasi gerektigini gosterdim.

3) Diyelim $f$ fonksiyonu $c$ noktasini iskaliyor. O zaman $f(z) - c$ fonksiyonu $\mathbb{C}$'de analitik ve hicbir zaman sifir olmayan bir fonksiyon demektir. Bu durumda $e^{g(z)} = f(z) - c$ olacak sekilde bir $g$ analitik fonksiyonu olmasi gerektigini biliyorum. Bu $g$ fonksiyonunun orten olmasi gerektigini de biliyorum. 

Bu gozlemler bir ise yarar mi? 

Answer 1

Cozdum!!

Gozlemlerimden ilk ilkine ihtiyacim yok. Yalnizca ucuncu gozlemi kullanacagim. Bu gozlemi tekrar yazayim.

Diyelim $f$ fonksiyonu $c$ noktasini iskaliyor. O zaman $f(z) - c$ fonksiyonu $\mathbb{C}$'de analitik ve hicbir zaman sifir olmayan bir fonksiyon demektir. Bu durumda $e^{g(z)} = f(z) - c$ olacak sekilde bir $g$ analitik fonksiyonu olmasi gerektigini biliyorum.

Simdi,

$$e^{g(z)} = -c \iff f(z) - c = - c \iff f(z) = 0 \iff ze^z = 0 \iff z=0$$

Yani $$e^{g(z)} = -c \iff z = 0 \quad \heartsuit$$ 

Simdi, $e^{g(0)} = -c$ oldugunu biliyorum. $\alpha_1 = g(0) + 2\pi i$ ve $\alpha_2 = g(0) - 2\pi i$ sayilarina bakalim. $g$ fonksiyonu tum duzlemde analitik ve sabit olmayan bir fonksiyon oldugu icin Picard'in kucuk teoremi bu $\alpha_1, \alpha_2$ sayilarindan en az bir tanesinin $g$'nin goruntu kumesinde olmasi gerektigini soyluyor.

Genelligi bozmadan $\alpha_1$'in goruntu kumesinde oldugunu varsayalim. Yani oyle bir $z_1 \in \mathbb{C}$ var ki $g(z_1) = \alpha_1$. Ote yandan $g$ fonksiyonu iyi tanimli oldugu icin $z_1 \neq 0$. Simdi

$$e^{g(z_1)} = e^{\alpha_1} = e^{g(0) + 2\pi i} = e^{g(0)}e^{2\pi i} = e^{g(0)} = -c$$

Ama bu $\heartsuit$ ile celisiyor.

Comments

Güzel bir çözüm olmuş. 

Çözüme bakınca burada $ze^z$ fonksiyonun tam oluşu ve $0$ değerinin bir kez alışı dışında başka özelliği kullanılmıyor. Yanılmıyorsam şu genelleştirme hemen görülüyor:

$ f$ bir  tam fonksiyon ve bir $a$ değerini sonlu kez alıyor ise $f$ örtendir.