Trigonometri İspatları-3

Question

Bir ABC üçgeninde   $a,b,c$   kenarlar ve kenarların karşısındaki açılar sırası ile $A,B,C$  ise    (a+b+c=180)

$\dfrac{b-c}{b+c}=\dfrac{tan(\frac{B-C}{2})}{tan(\frac{B+C}{2})}$   oldugunu gösterin

Comments

Boyle olduguna emin misin? Sol taraf aci ve sag taraf oran. 

---

aynen hocam emınim ve çok zarif:)

---

hatta bu eşitligi integral cozerken falan kullanabılırız.

---

Sorulari pek anlamiyorum isin acikcasi. Burada $a$'nin ve dolayisiyla bir ucgen olmanin hicbir onemi yok. Tabi ki de boyle bir oran bulabiliriz, orasi da tamam. Fakat anlamsiz geldi bana sorunun sorulus tarzi.

---

soruyu soranın ayıbı:D

---

Anlamlandiracak bir seyler soyleyebilir misin, peki?

Bir de ucgenele alakasini aciklayabilir misin? Ben goremedim.

---

sevgili hocam  tüm bilgiler bunlar ve üçgen yerine cebirsel olarak çözücez sanırım.

---

Ek bilgi var mi demedim ki? Soru soruyorum. Bana gore bu soru hakkinda sorulmasi gereken sorular bunlar hatta. Neyse...

---

haklısınız ,benım gibi(amele gibi) cebir yapmaktansa güzel bir kıvrak nokta yakalamak istiyorsunuz ama burada öyle bir şey ben de sizin gibi göremiyorum.

---

İPUCU;SİNÜS TEOREMİ

---

Burada $a,b,c$ kenar uzunlukları olmalıdır. 

---

hocam malesef soruda sadece böyle verilmiş.

ama çok mantıklı geliyor kenar olması.


Ama cevap aynen şöyle

$\dfrac{b-c}{b+c}=\dfrac{tan(\frac{b-c}{2})}{tan(\frac{b+c}{2})}$


b ve c kenar uzunluğu ise aynı semboller neden açılarda kullanılmış.


10kere tekrar kontrol ettim soru aynen böyle .

Sercan hocaya da mahçup oldum, saçma sapan sorulmuş bu soru nedeni ile.

Eğer soldaki b ve c kenar ise

soruyu şöyle düzenleyelim

A,B,C üçgenin kenarları ve a,b,c bu kenarların karşılarındaki açılar ise.

$\dfrac{B-C}{B+C}=\dfrac{tan(\frac{b-c}{2})}{tan(\frac{b+c}{2})}$ olur .

---

sorunun soruluş şekli bu idi, bende zaten ispatlayamadıgımdan biraz yanlış anlaşılma oldu.

soruyu şimdi düzenlıyorum kenar olarak çözelim.

Answer 1

Sinüs teoreminden; 

$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$ dir. Burada $R$ ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapıdır. Buradan $$a=2RsinA,\quad b=2RsinB,\quad c=2RsinC .....(*)$$ Buradan 

$$\frac{b+c}{a}=\frac{2R(sinB+sinC)}{2RsinA}=\frac{sinB+sinC}{sinA}$$ olacaktır.

$$\frac{b+c}{a}=\frac{sinB+sinC}{sinA}=\frac{2sin(\frac{B+C}{2}).cos(\frac{B-C}{2})}{2sin(A/2).cos(A/2)}$$  Öte yandan $A+B+C=\pi \Rightarrow \frac{A}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{B+C}{2}\Rightarrow sin(\frac{B+C}{2})=cos(\frac A2)$ dir. Dolayısıyla 

$$\frac{b+c}{a}=\frac{cos(\frac{B-C}{2})}{sin(A/2)}...................(1)$$  Yine yıldız eşitliklerinden 

$$\frac{b-c}{a}=\frac{2R(sinB-sinC)}{2RsinA}=\frac{sinB-sinC}{sinA}=\frac{2sin(\frac{B-C}{2}).cos(\frac{B+C}{2})}{2sin(A/2).cos(A/2)}=\frac{sin(\frac{B-C}{2})}{cos(A/2)}..........(2)$$  olur.

$(2)$ ve $(1)$ deki eşitliklerin taraf tarafa bölümünden;

$$\frac{b-c}{b+c}=\frac{\frac{sin(\frac{B-C}{2})}{cos(A/2)}}{\frac{cos(\frac{B-C}{2})}{sin(A/2)}}=\frac{sin(\frac{B-C}{2}).sin(\frac A2)}{cos(\frac A2) cos(\frac{B-C}{2})}=tan(\frac A2).tan(\frac{B-C}{2})$$  $A+B+C=\pi\rightarrow \frac A2=\frac{\pi}{2}-\frac{(B+C)}{2}\rightarrow tan(\frac{A}{2})=cot(\frac{B+C}{2})=\frac{1}{tan(\frac{B+C}{2})}$ dir. O halde $$\frac{b-c}{b+c}=\frac{tan(\frac{B-C}{2})}{tan(\frac{B+C}{2})}..............(3)$$ dir. Burada ispatı yapılan $(1),(2),(3)$ nolu eşitliklere,formüllere MOLWEİDE formülleri diyoruz.

Comments

ben soruyu bu cevaba göre tekrar düzenleyeyım açılar A,B,C için.