Trigonometri İspatları-2-

Question

Bir ABC üçgeninde a+b+c=180 ise

$cotb.cotc+cotc.cota+cota.cotb=?$

Answer 1

$$\frac{cosb.cosc}{sinb.sinc}+\frac{cosc.cosa}{sinc.sina}+\frac{cosa.cosb}{sina.sinb}=$$ Payda eşitlenirse,

$$=\frac{sina.cosb.cosc+sinb.cosc.cosa+sinc.cosa.cosb}{sina.sinb.sinc}$$

$$=\frac{cosc(sina.cosb+sinb.cosa)+sinc.cosa.cosb}{sina.sinb.sinc}$$

$$=\frac{cosc.sin(a+b)+sinc.cosa.cosb}{sina.sinb.sinc}$$   $a+b+c=\pi\Rightarrow a+b=\pi-c$ dir.

$$=\frac{cosc.sin(\pi-c)+sinc.cosa.cosb}{sina.sinb.sinc}$$  $sin(\pi-c)=sinc$ dir.

$$=\frac{cosc.sinc+sinc.cosa.cosb}{sina.sinb.sinc}=\frac{sinc(cosc+cosa.cosb)}{sina.sinb.sinc}$$

$$=\frac{cosc+cosa.cosb}{sina.sinb}=\frac{cos(\pi-(a+b))+cosa.cosb}{sina.sinb}$$  $cos(\pi-(a+b))=-cos(a+b)=-(cosacosb-sina.sinb)$ dir.

$$=\frac{-cos(a+b)+cosa.cosb}{sina.sinb}=\frac{-cosa.cosb+sina.sinb+cosa.cosb}{sina.sinb}=\frac{sina.sinb}{sina.sinb}=1$$  olacaktır. 

Comments

teşekkürler çok iyi çözüm.

---

Önemli değil. Tabii biraz uzun oldu.

Answer 2

cota=tanx, cotb=tany, cotc=tanz dönüşümü yapalım (neden?) x+y+z=90 ise verilen eşitlik $$tanxtany+tanxtanz+tanytanz=1$$ eşittir bu işitlik iyi biliniyor ama istenirse kanıtı tanjant toplam formülü ile $$tan(x+y)=\frac{1}{tanz}=\frac{tanx+tany}{1-tanxtany}$$ ile bulunur

Comments

teşekkür ederim .