Question

$p$ asal olmak üzere $(p-1)!\equiv _{p} -1$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Bu zaten Wilson teoremi değil mi?

---

Evet Wilson teoremi.

Answer 1

Wilson un teoreminin daha basit bir ispatı:

$p$ bir asal sayı olsun.

$x^2\equiv1\ (\mod p)$ denklemini düşünelim.

$(x-1)(x+1)\equiv0\ (\mod p)$ denklemine denk olduğu için ve $p$ asal olduğu için çözümler $\overline{\pm1}$ dir.$p\neq2$ için bunlar farklıdır. Bu da şunu söyler:

($p$ tek asal ise her $x\in\mathbb{Z}_p\setminus\{\bar{0},\bar{1},\overline{-1}\}$ için $x\equiv\!\!\!\!\!\!\diagup x^{-1}$ dir.

Öyleyse ($p$ tek asal iken) 0 dışında her sayının  çarpmaya göre ($\pm1$ dışındakilerin kendilerinden farklı) tersi olduğuna göre

$(p-1)!\equiv 1\cdot(-1)\cdot (x_1\cdot x_1^{-1})\cdots(x_k\cdot x_k^{-1})\equiv-1\ (\mod p)$

$p=2$ için zaten aşikar.

Answer 2

$\mathbb{F_p}$'nin tum elemanlari $x^p-x$'in $\mod  p$'de kokleri.

tum sifir olmayan koklerinin carpimi $x^{p-1}-1$'den $\equiv -1 \mod p$ ($p=2$ icin $-1 \equiv 1$)

Sayilar teorisinden ispari da mevcut.