Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
882 kez görüntülendi
Burada $(\frac{a}{p})$ legendre sembolüdür.

kullanabileceğimi düşündüğüm birkaç legendre sembolü özelliği ise

$(\frac{ab}{p})=(\frac{a}{p})(\frac{b}{p})$
$(\frac{a}{p}) \equiv a^\frac{p-1}{2}(modp)$
Lisans Matematik kategorisinde (1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 882 kez görüntülendi

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
$a\cdot a^\prime\equiv 1\pmod p$ ise $$\left(\frac{a(a+1)}{p}\right)=\left(\frac{(a^\prime)^2a(a+1)}{p}\right)=\left(\frac{1+a^\prime}{p}\right)$$ eşitliği sağlanır.

$a\ne 0,-1$ olduğundan $1+a^\prime$ değerleri modüler olarak $0,1$ hariç tüm değerleri alır.
Kare ve kare olmayanlar (sıfır harici) eşit dağıldığından toplamı sıfır olur.
$1$ bir kare olduğundan ve eksik olduğundan istenene toplam $-1$ olur.
(25.4k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Pedagojik olmayan bir yazım biçimiyle ,

$a\in\mathbb F_p^*$ için , şu eşitliğe sahibiz $(\frac{a(a+1)}{p})=(\frac{(a+1)/a}{p})$.  $[$ $(\frac{a^2}p)=1$ ve Legendre sembolünün çarpımsallık özelliğinden $]$ ,  böylece

           $$\sum\limits_{a\in\mathbb F_p^*}\left(\frac{a(a+1)}{p}\right)=\sum\limits_{a\in\mathbb F_p^*}\left(\frac{1+1/a}{p}\right)=\sum\limits_{b\in\mathbb F_p^*}\left(\frac{1+b}{p}\right)=-\left(\frac1p\right)+\sum\limits_{c\in\mathbb F_p}\left(\frac cp\right).$$

buradan  son eşitliğin en sağında yer alan , $c$ üzerinden yapılan toplam sıfırdır ( kuadratik rezidü ve kuadratik olmayan rezidü sayıları eşittir) ve $\left(\frac1p\right)=1$ olup sonuca $-1$ olarak ulaşırız.
(260 puan) tarafından 
20,221 soru
21,752 cevap
73,359 yorum
1,998,477 kullanıcı