Bence gayet güzel bir soru. Süreklilik tanımı belirttiğin gibi değil. Şöyle ki:
Tanım: $\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$, $f\in \mathbb{R}^A$ ve $a\in A$ olmak üzere
$$f, \,\ a\text{'da sürekli}$$
$$:\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$
Demek ki $$f, \,\ a\text{'da sürekli}$$ demek $$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)\ldots (\star)$$ önermesinin doğru olması anlamına geliyormuş. Bu $(\star)$ önermesinin biraz daha anlamaya çalışalım ve önermeyi biraz gıdıklayalım.
$$f, \,\ a\text{'da sürekli}$$
$$:\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$
$$\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\underset{p}{\underbrace{x\in A}}\Rightarrow [\underset{q}{\underbrace{x\in (a-\delta, a+\delta)}}\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{f(x)\in (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)}}])$$
Burada sürekliliğe küçük bir ara verelim ve biraz mantık yapalım.
$$p\Rightarrow (q\Rightarrow r)\equiv p'\vee (q'\vee r)\equiv (p'\vee q')\vee r\equiv (p\wedge q)\Rightarrow r$$ olduğundan
$$\underset{p}{\underbrace{x\in A}}\Rightarrow [\underset{q}{\underbrace{x\in (a-\delta,a+\delta)}}\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{f(x)\in (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)}}]$$
önermesi yerine
$$[\underset{p}{\underbrace{x\in A}}\wedge \underset{q}{\underbrace{x\in (a-\delta, a+\delta)}}]\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{f(x)\in (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)}}$$ önermesini yazabiliriz.
Şimdi süreklilik tanımına kaldığımız yerden devam edebiliriz.
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)([x\in A\wedge x\in (a-\delta,a+\delta)]\Rightarrow f(x)\in (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon))$$
$$\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)([x\in A\cap (a-\delta,a+\delta)]\Rightarrow f(x)\in (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon))$$
$$\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)[f(x)\in f[A\cap (a-\delta,a+\delta)]\Rightarrow f(x)\in (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)]$$
$$\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)[f[A\cap (a-\delta, a+\delta)]\subseteq (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)]$$
$$\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)[f[A\cap (a-\delta,a+\delta)]\subseteq (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)]$$
Şimdi gerçel tanım kümeli ve gerçel değerli bir fonksiyonun sürekli olması ne demek olduğunu daha iyi anlayabiliriz. Şöyle ki: $\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$, $f:A\to\mathbb{R}$ fonksiyon ve $a\in A$ olsun.
Demek ki bir $f$ fonksiyonunun $a$ noktasında sürekli olması demek her $\epsilon>0$ sayısı için öyle bir $\delta>0$ sayısı bulmalıyız ki $A$ kümesi ile $a$'nın $\delta$ komşuluğunun arakesitinde bulunan gerçel sayıların $f$ fonksiyonu altındaki görüntüsünün $f(a)$'nın $\epsilon$ komşuluğu tarafından kapsanması anlamına geliyormuş.
Bu bilgiler ışığı altında sorunun cevabını kendin vermeye çalış.