Question

Tek noktanın tanımlandığı tanım kümesi olan  $f$ fonksiyonunun  o , tek noktada sürekliliği olabilir mi?

sağdan soldan yaklaşacağı eleman yok , tek nokta olduğu için limit kullanmaya gerek kalmıyor , limit

olmadan süreklilik mi oluyor?

Comments

içeriği geyik olabilecek bir konu aç atomov ^^

---

Bence gayet güzel bir soru. Süreklilik tanımı belirttiğin gibi değil. Şöyle ki:

Tanım: $\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$, $f\in \mathbb{R}^A$ ve $a\in A$ olmak üzere

$$f, \,\ a\text{'da sürekli}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

Demek ki

$$f, \,\ a\text{'da sürekli}$$  demek $$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)\ldots (\star)$$  önermesinin doğru olması anlamına geliyormuş. Bu $(\star)$ önermesinin biraz daha anlamaya çalışalım ve önermeyi biraz gıdıklayalım.

$$f, \,\ a\text{'da sürekli}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\underset{p}{\underbrace{x\in A}}\Rightarrow [\underset{q}{\underbrace{x\in (a-\delta, a+\delta)}}\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{f(x)\in (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)}}])$$

Burada sürekliliğe küçük bir ara verelim ve biraz mantık yapalım.

$$p\Rightarrow (q\Rightarrow r)\equiv p'\vee (q'\vee r)\equiv (p'\vee q')\vee r\equiv (p\wedge q)\Rightarrow r$$ olduğundan 

$$\underset{p}{\underbrace{x\in A}}\Rightarrow [\underset{q}{\underbrace{x\in (a-\delta,a+\delta)}}\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{f(x)\in (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)}}]$$

önermesi yerine

$$[\underset{p}{\underbrace{x\in A}}\wedge \underset{q}{\underbrace{x\in (a-\delta, a+\delta)}}]\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{f(x)\in (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)}}$$ önermesini yazabiliriz. 

Şimdi süreklilik tanımına kaldığımız yerden devam edebiliriz.

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)([x\in A\wedge x\in (a-\delta,a+\delta)]\Rightarrow f(x)\in (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon))$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)([x\in A\cap (a-\delta,a+\delta)]\Rightarrow f(x)\in (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon))$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)[f(x)\in f[A\cap (a-\delta,a+\delta)]\Rightarrow f(x)\in (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)]$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)[f[A\cap (a-\delta, a+\delta)]\subseteq (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)]$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)[f[A\cap (a-\delta,a+\delta)]\subseteq (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)]$$

Şimdi gerçel tanım kümeli ve gerçel değerli bir fonksiyonun sürekli olması ne demek olduğunu daha iyi anlayabiliriz. Şöyle ki: $\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$, $f:A\to\mathbb{R}$ fonksiyon ve $a\in A$ olsun.

Demek ki bir $f$ fonksiyonunun $a$ noktasında sürekli olması demek her $\epsilon>0$ sayısı için öyle bir $\delta>0$ sayısı bulmalıyız ki $A$ kümesi ile $a$'nın $\delta$ komşuluğunun arakesitinde bulunan gerçel sayıların $f$ fonksiyonu altındaki görüntüsünün $f(a)$'nın $\epsilon$ komşuluğu tarafından kapsanması anlamına geliyormuş.

Bu bilgiler ışığı altında sorunun cevabını kendin vermeye çalış.

---

teşekkürler hocam uğraşayım .

Answer 1

$A=\{a\}\subseteq\mathbb{R}$ olmak üzere

$$f:A\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu (kuralı ne olursa olsun) süreklidir. Şöyle ki;

Her $\epsilon>0$ sayısı için $\delta >0$ sayısı nasıl seçilirse seçilsin

$$f[A\cap (a-\delta,a+\delta)]=f[\{a\}]=\{f(a)\}\subseteq (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)$$ koşulu sağlanır. O halde $f$ fonksiyonu $a$ noktasında sürekli yani $A$ kümesi üzerinde sürekli olur.

Comments

hocam çok anlayamıyorum, anlamak için ne yapmalıyım?

---

A kümesi ile $(a-\delta,a+\delta)$ aralıgını nıye kesiştirdik

---

Neyi anlayamıyorsun? Yorum kısmında yazdıklarımı tekrar okumanı tavsiye ederim.

---

ben anladıgımı yazıyım, o aralıkta kaç nokta oldugunu hesaplıyoruz ve tek nokta buluyoruz dolayısıyla görüntü için de $\delta$ gibi bir $\epsilon$ tanımlıyoruz ve onun da tekligini gösteriyoruz ama bu zaten bariz değil mi neden yenıden yazdık (işte burayı tam anlamadım)

---

tamam hocam 2hafta once bakmıştım şımde gene bakıyım . ilginiz için teşekkürler.

---

Sorularının cevabı yukarıda yorum kısmında yazmış olduğum açıklamalarda mevcut.