Normlu Uzaylarda Süreklilik

Question

$$\mathcal{C}^1[0,1]:=\{f|f:[0,1]\to\mathbb{R} \text{ türevli ve türev fonksiyonu sürekli}\}$$

kümesi

$$||f||_{\infty}:=\sup_{x\in [0,1]}|f(x)|+\sup_{x\in [0,1]}|f'(x)|$$ kuralı ile verilen $$||\cdot||:\mathcal{C}^1[0,1]\to\mathbb{R}$$ normu ile ele alındığında 

$$\left[(\mathcal{C}^1[0,1],\oplus),\odot ,(\mathbb{R},+,\cdot),||\cdot||\right]$$ yapısı bir Banach uzayı oluyor. Buna göre

$$T(x):=\int_0^1\sqrt{1\oplus(x'(t))^2}dt$$ kuralı ile verilen

$$T:\mathcal{C}^1[0,1]\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu sürekli midir? Cevabınızı kanıtlayınız.

Comments

lp-space  ler norm uzaylar mı oluyor?

sürekliliği karemsi şekillerin kenarlarındaki süreklilik mi? yoksa içeri doğru giden şekillerin sürekliliğimi sevgili hocam:)