Tanım(Zayıf türev): ∅≠Ω⊆Rn açık, k∈N, 1≤p<∞, sonsuz türevlenebilir tıkız destekli (ingl. support) fonksiyonlar kümesi C∞0(Ω); ‖u‖Wk,p(Ω):=∑|γ|≤k‖Dγu‖Lp(Ω) normuyla birlikte vektör uzayımızı oluştursun.
Not:u'nin türevini Dγu=∂|γ|u∂xγ11…∂xγnn biçiminde yazdık.
Onu tamamlayıp şu Sobolev uzayını elde edelim:
Wk,p0(Ω):={u∈Lp(Ω)|∃ui∈C∞0(Ω):limi,j→∞‖ui−uj‖Wk,p(Ω)=0,Lp(Ω)'de ui→u}
u∈Wk,p0(Ω),ui∈C∞0(Ω) olmak üzere, Lp(Ω)'de ui→u ve ‖ui−uj‖Wk,p(Ω)→0 sağlansın.
-Buradan itibaren γ, derecesi |γ|<k olan bir çoklu damga-
O zaman ortaya Lp(Ω)'de Dγui'nin bir uγ göndermesine yakınsadığı
ve herhangi bir ϕ∈C∞0(Ω) için
∫uγϕ←∫Dγuiϕ=(−1)|γ|∫uiDγϕ→(−1)|γ|∫uDγϕ olduğu çıkar.
Böyle, u aracılığıyla biricik belirlenen -yani ϕ∈C∞0(Ω) için ∫uγϕ=(−1)|γ|∫uDγϕ eşitliğini geçerleyen- uγ göndermesine u'nun zayıf türevi denir ve Dγu ile gösterilir.