Tanım(Zayıf türev): ∅≠Ω⊆Rn açık, k∈N, 1≤p<∞, sonsuz türevlenebilir tıkız destekli (ingl. support) fonksiyonlar kümesi C∞0(Ω); ‖ normuyla birlikte vektör uzayımızı oluştursun.
Not:u'nin türevini D^\gamma u=\frac{\partial^{\vert\gamma\vert}u}{\partial x_1^{\gamma _1}\dots\partial x^{\gamma_n}_n} biçiminde yazdık.
Onu tamamlayıp şu Sobolev uzayını elde edelim:
W_0^{k,p}(\Omega):=\{u\in L^p(\Omega)\vert \exists u_i\in C_0^\infty(\Omega): lim_{i,j\rightarrow \infty}\| u_i-u_j\|_{W^{k,p}(\Omega)}=0,L^p(\Omega)\text{'de }u_i\rightarrow u \}
u\in W_0^{k,p}(\Omega), u_i\in C_0^\infty(\Omega) olmak üzere, L^p(\Omega)\text{'de } u_i\rightarrow u ve \| u_i-u_j\|_{W^{k,p}(\Omega)}\rightarrow 0 sağlansın.
-Buradan itibaren \gamma, derecesi \vert \gamma\vert<k olan bir çoklu damga-
O zaman ortaya L^p(\Omega)'de D^\gamma u_i'nin bir u^\gamma göndermesine yakınsadığı
ve herhangi bir \phi\in C_0^\infty(\Omega) için
\int u^\gamma \phi\leftarrow \int D^\gamma u_i \phi =(-1)^{\vert\gamma\vert}\int u_i D^\gamma \phi \rightarrow (-1)^{\vert\gamma\vert} \int u D^\gamma \phi olduğu çıkar.
Böyle, u aracılığıyla biricik belirlenen -yani \phi\in C_0^\infty(\Omega) için \int u^\gamma \phi= (-1)^{\vert\gamma\vert} \int u D^\gamma \phi eşitliğini geçerleyen- u^\gamma göndermesine u'nun zayıf türevi denir ve D^\gamma u ile gösterilir.