Question

$$\beta=\{(x,y)|x^2+2y+1=0\}\subseteq \mathbb{Z}^2$$ bağıntısı ters simetrik midir?

Comments

ters simetrik ne demek, yazabilir misin?

---

$(x,y)\in\beta$ ve $(y,x)\in\beta$ iken $x=y$ oluyorsa $\beta$ bağıntısına ters simetriktir diyoruz.

---

Yani soru suna mi donustu: 

$x,y$ tamsayilar olmak uzere $x^2 + 2y + 1 = 0$ ve $y^2 + 2x + 1 = 0$ ise $x = y$'dir?

---

$x^2 + 2y +1 = 0$ ise ve $y^2 + 2x + 1 = 0$ ise ikinci esitligi $-1$ ile carpip elimizdeki iki esitligi toplarsak, $x^2 - y^2 + 2 x - 2 y =0$ geliyor. Yani $$(x-y)(x+y) + 2(x - y) = 0$$oluyor. Buradan da $(x-y)(x+y +2) = 0$ oldugunu goruyoruz. Yani ya $x = y$ imis ya da $x+y+2 =0$ imis. Gerisini yapamadim su an.

Aha. Cikarmayacakmisiz, ekleyecekmisiz.

---

Gerisinde $y$ yerine $x$ Bakimindan değeri yazıldığında tamsayı çözümü olmaz ve $x=y$ bulunur. Şimdi tamam. 

Answer 1

Teorem: $X$ herhangi bir küme ve $\beta\subseteq X^2$ olmak üzere

$$\beta, \text{ ters simetrik}\Leftrightarrow\beta\cap\beta^{-1}\subseteq I_X$$

$$\beta\cap\beta^{-1}=\{(x,y)|(x,y)\in\beta \wedge (x,y)\in\beta^{-1}\}=\{(x,y)|(x,y)\in\beta \wedge (y,x)\in\beta\}$$

olduğundan $$x^2+2y+1=0\ldots (1)$$ ve $$y^2+2x+1=0\ldots (2)$$ denklem sisteminin çözümünü bulmalıyız. $(1)$ ve $(2)$ nolu ifadeleri taraf tarafa toplarsak

$$x^2+2y+1+y^2+2x+1=0\Rightarrow (x+1)^2+(y+1)^2=0$$

$$\Rightarrow$$

$$x=-1 \text{ ve } y=-1$$

bulunur. O halde

$$\beta\cap\beta^{-1}=\{(-1,-1)\}$$ olacaktır. Dolayısıyla $$\beta\cap\beta^{-1}=\{(-1,-1)\}\subseteq I_\mathbb{Z}$$ olduğundan $$\beta$$ bağıntısı ters simetriktir.

Comments

Tanim $\subseteq I_X $ mi olacak?

---

$\mathbb{Z}$'de çalışyoruz ya artık.

---

$\mathbb Z$'de calisinca tamin mi degisiyor :)

$I_X$'i $\{(x,x) \: | \: x \in X\}$ olarak aldim. Dogru mu? Bu durumda tanima gore sonuc $\subseteq$ olunca degil $= $ olunca ters-simetrik olmali.

---

Evet doğru $I_X=\{(x,x)|x\in X\}$. Ama $$\beta\cap\beta^{-1}=I_X$$ değil

$$\beta\cap\beta^{-1}\subseteq I_X$$ olacak. Ben ilk başta yazarken $\beta\cap\beta^{-1}=I_X$ yazmışım ama düzelttim. $\beta\cap\beta^{-1}\subseteq I_X$ olacak

---

İlk yazdığın yorumda kast ettiğini şimdi fark ettim. :-)