Logaritmanın türev formülünün limit tanımından ispatı

Question

Logaritmanın türev formülünün limit tanımından ispat edelim ve sonucunda çıkan belirsizliği açıklayalım.


$y=log_ax$ olsun

$\frac{dy}{dx}$ için genel çözümü ispatlayınız.

Answer 1

http://matkafasi.com/18244/limits_-rightarrow-rightarrow-limits_-rightarrow-olabilir?show=18263#a18263


http://matkafasi.com/18265/rightarrow-limits_-rightarrow-rightarrow-limits_-rightarrow


http://matkafasi.com/18126/%241-infty%24-neden-belirsizdir?show=18241#a18241


bunları göz önünde bulundurarak;

Türevin limit tanımından;


$(log_ax)'=\dfrac{d}{dx}(log_ax)=lim_{h \longrightarrow 0}\dfrac{log_a(x+h)-log_ax}{h}$ oldugundan


$lim_{h \longrightarrow 0}\dfrac{log_a\left(\dfrac{x+h}{x}\right)}{h}$

paydadaki   $h$  ı  düzenleyip 


$lim_{h \longrightarrow 0}\dfrac{log_a\left(\dfrac{x+h}{x}\right)}{log_aa^{^{^{h}}}}$

olarak yazalım ve

logaritma kurallarından olan

$\dfrac{log_xa}{log_xb}=log_ba$  İSPATLARI

dan yola çıkarak

$lim_{h \longrightarrow 0}\dfrac{log_a\left(\dfrac{x+h}{x}\right)}{log_aa^{^{^{h}}}}=lim_{h \longrightarrow 0}log_{a^{^{^{h}}}}\left(\dfrac{x+h}{x}\right)$


$\longrightarrow$      $lim_{h \longrightarrow 0} \frac{1}{h}log_a\left(\dfrac{x+h}{x}\right)$

$\longrightarrow$      $lim_{h \longrightarrow 0} log_a\left(\dfrac{x+h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}$




$\longrightarrow$      $lim_{n \longrightarrow \infty} log_a\left(1+\dfrac{1}{x.n}\right)^{n}$



$\longrightarrow$      $log_a\left[lim_{n \longrightarrow \infty}  \left(1+\dfrac{1}{x.n}\right)^{n}\right]$

$\longrightarrow$      $(log_ax)'=\dfrac{d}{dx}(log_ax)=\frac{1}{x}.log_ae$


alttaki linkte ispatlanmış olan zincir kuralını uygularsak her $y=log_a(u(x))$ tarzı fonksiyonların türevini 


$y'=[log_a(u(x))]'=\frac{u'}{u}log_ae$ buluruz $\Box$


http://matkafasi.com/67909/zincir-kurali-ispati-ezber-bozuyoruz-1?show=67909#q67909