Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
3.2k kez görüntülendi

Eger limxf(x)=0 ve limxg(x)= ve limxf(x)g(x)=L ise limx(1+f(x))g(x)=eL midir?

Lisans Matematik kategorisinde (25.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 3.2k kez görüntülendi

2 Cevaplar

6 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

t sayısı [1,1+f(x)] aralığının içinde herhangi bir sayı olsun. (Burada f(x) in pozitif değerlerle limit durumunda 0 a gittiğini kabul ederek bu aralığı yazdım. Negatif değerlerle x da 0 a gittiği durum için de aralık [1+f(x),1] seçilip benzer işlemler yapılabilir.)

11+f(x)1t1 dir. 

Her tarafı t ye göre verilen aralıkta integre edelim:   

1+f(x)111+f(x)dt1+f(x)11tdt1+f(x)11dt

 f(x)1+f(x)ln(1+f(x))f(x)   , yine her tarafın e tabanlı exponansiyelini alalım:

ef(x)1+f(x)1+f(x)ef(x)  , ve yine her tarafın g(x) sinci kuvvetini alalım ve x  da limitini alalım:

 (ef(x)1+f(x))g(x)(1+f(x))g(x)(ef(x))g(x)...............(*)

Soruda verilen bilgilerden, 

limxf(x)=0  ,   limxg(x)  ve limxf(x)g(x)L  idi.

(*) da bu verilenler uygulandığında;

limx(ef(x)1+f(x))g(x)=eL=limx(ef(x))g(x) olur.

Sıkıştırma teoreminden;

limx(1+f(x))g(x)=eL dir.


(470 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

f pozitif alinmis. f(x)=sinxx gibi bir fonksiyon da olabilir.

O aman aralığı [1,1+|f(x)|] mi seçmeliyim?

Bu ispata nasıl uygulanır, bi düşünmek lazım.

Yazılan her şey yalnızca x değil her xa için (hatta tek taraflı limitlerde) de geçerlidir.

t>1 için t1+tln(1+t)t (ece çelik in integral ile gösterdiği gibi veya başka şekilde) görülür. 

limxaf(x)=0 olduğundan, eninde sonunda, (yani , a ya yeterince yaklaştığında) f(x)>1 ve bunun sonucunda (x, a ya yeterince yakın olduğunda) f(x)1+f(x)ln(1+f(x))f(x) doğru olacaktır. limxag(x)=+ iken sorun yok ama ise eşitsizliklerden birinde (kolay bir) değişiklik gerekir.

Bir Not:

(Sonlara doğru) limxaef(x)g(x)1+f(x)limxa(1+f(x))g(x)limxaef(x)g(x)

yazmak yerine:

ef(x)g(x)1+f(x)(1+f(x))g(x)ef(x)g(x) ve limxaef(x)g(x)1+f(x)=eL=limxaef(x)g(x)

den, Sıkıştırma Teoreminden, limxa(1+f(x))g(x)=eL elde edilir" dese daha doğru olur. Çünki limxa(1+f(x))g(x) limitinin varolduğunu henüz bilmiyoruz, Sıkıştırma Teoremi onun varlığını ve  değerini söylüyor.


Teşekkürler hocam..

0 beğenilme 0 beğenilmeme

f(x)=1x ve g(x)=Lx diyelim.

limxf(x)g(x)=L dir.

limx(1+f(x))g(x)=limx(1+1x)Lx=limx[(1+1x)x]L=eL

(1.1k puan) tarafından 

Bu genel bir soru. Bu sartlar altindaki tum f,g'ler icin ispatlanmasi lazim. Ya da karsit bir onek verilmesi lazim.Verilen ornek dogrulugunun oldugu kisimdan.

Evet. bertan88 arkadaşımızın vermiş olduğu örnek iddiayı sadece destekliyor. Doğru ya da yanlış olduğunu göstermiyor.

20,305 soru
21,856 cevap
73,576 yorum
2,804,838 kullanıcı