t sayısı [1,1+f(x)] aralığının içinde herhangi bir sayı olsun. (Burada f(x) in pozitif değerlerle limit durumunda 0 a gittiğini kabul ederek bu aralığı yazdım. Negatif değerlerle x→∞ da 0 a gittiği durum için de aralık [1+f(x),1] seçilip benzer işlemler yapılabilir.)
11+f(x)≤1t≤1 dir.
Her tarafı t ye göre verilen aralıkta integre edelim:
1+f(x)∫111+f(x)dt≤1+f(x)∫11tdt≤1+f(x)∫11dt
⇒ f(x)1+f(x)≤ln(1+f(x))≤f(x) , yine her tarafın e tabanlı exponansiyelini alalım:
ef(x)1+f(x)≤1+f(x)≤ef(x) , ve yine her tarafın g(x) sinci kuvvetini alalım ve x→∞ da limitini alalım:
⇒ (ef(x)1+f(x))g(x)≤(1+f(x))g(x)≤(ef(x))g(x)...............(*)
Soruda verilen bilgilerden,
limx→∞f(x)=0 , limx→∞g(x)→∞ ve limx→∞f(x)g(x)→L idi.
(*) da bu verilenler uygulandığında;
limx→∞(ef(x)1+f(x))g(x)=eL=limx→∞(ef(x))g(x) olur.
Sıkıştırma teoreminden;
limx→∞(1+f(x))g(x)=eL dir.