0 ile 1 arasındaki herhangi reel sayının sonsuza giden kuvvet serisi formülünün ispatı.

Question

$n\in\mathbb{R}$    ve  $1>n>0$   olsun;

$1+n+n^2+n^3+n^4+......+n^k+........=\frac{1}{1-n}$ ispatlayalım



dipçe:Belirli bir zamanda cevap gelmez ise ben yazıcağım .

Answer 1

Bu soruda $x \ne 1$ icin $$1+x+x^2+\cdots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$ oldugunu gostermistik. $|x|<1$ icin $$\lim_{n\to \infty} x^{n+1}=0$$ olacagindan $$\sum\limits_{k=0}^\infty x^k=\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=0}^n x^k=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{1}{1-x}$$ olur.

Comments

Bravo!, ama benim ispatımıda görmeniz lazım:) yazarım gün içinde.

Answer 2

1>p>0

ve $p\in\mathbb{R}$

için sayı doğrusunu düşünelim 0 ve 1 arasında


$\underbrace{\star}_0\underbrace{---------}_{1-p}\underbrace{--------------------}_p\underbrace{\star}_1$

$p=p(1-p)+p^2$

$\underbrace{\star}_0\underbrace{---------}_{1-p}\underbrace{----------}_{p(1-p)}\underbrace{----------}_{p^2}\underbrace{\star}_1$

$p^2=p^2(1-p)+p^3$

$\underbrace{\star}_0\underbrace{---------}_{1-p}\underbrace{------}_{p(1-p)}\underbrace{----}_{p^2(1-p)}\underbrace{----------}_{p^3}\underbrace{\star}_1$



$p^3=p^3(1-p)+p^4$

$\underbrace{\star}_0\underbrace{---------}_{1-p}\underbrace{------}_{p(1-p)}\underbrace{----}_{p^2(1-p)}\underbrace{------}_{p^3(1-p)}\underbrace{----}_{p^4}\underbrace{\star}_1$

$\cdots$

böyle böyle devam edersek karşımıza şöyle bir denklem çıkar;

$(1-p)+p(1-p)+p^2(1-p)+p^3(1-p)+.......=1$

hertarafı   $(1-p)$   ye bölersek ispatlanır.


$1+p+p^2+p^3+p^4+p^5+......=\frac{1}{1-p}$   $\Box$

Comments

"Boyle boyle devam edersek demisin" bu boyle boyle nasil bir devam etme?

Mesela: "$s_k=1+x+x^2+\cdots+x^n$ ise $\lim s_k$" gibi.

---

evet?               

---

sımdı anlasılıyormu

---

Boyle boyle devam etme nasil? Nasil bir devam etme? Sorum bu.

---

yanı hocam en sağdakı olan $p^2$ yi açıyoruz sonra açılanlardan $p^3$ ü açıyoruz sürekli küçülen bir seri elde ediyoruz sonsuza giden.

---

Nasil bir seri bu? Terimleri nasil?

---

$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}p^k.(1-p)=1$