Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
8.7k kez görüntülendi

$(a^x)'=lna.a^x$ şeklindeki üstel fonksiyonların türevini tanımdan ispatlayınız.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (2.9k puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 8.7k kez görüntülendi

başlıga turev ıspatı dıye ekleyebılırsın:)

Temel türev tekniginu ispatlarsak gerisi kolay.$a^x=y$ ise $x.lna=lny$ gelir.Buradan bir kere türev alirsak.

$lna=\frac{y'}{y}$ gelir.Buradan da $a^x.lna=y$ gelir.

Dexor hocam cevaba çevirebilirsin. Eline sağlık.

türevini limitten hesaplamak gerekmezmi?

amaç zaten ln in türevi yani logaritmanın türevini bulmak oldugundan logarıtma turevını bılıyor gıbı yapıp turev almak sıkıntı olmaz mı?

Logaritmikleri daha önceden yazmıştık ama. Galiba şu anda 12. sınıf müfredatının tüm türev formüllerini ispatladık, hayırlı olsun. Ben limitten çıkaramadım $a^x(\frac{a^h-1}{h})$ geldi tıkandım. Ama istersen sen biraz daha uğraş, birşey çıkarsa atarsın Anıl.

$a^x=y$ ise

$lna.x=y$ çarpım fonksiyonların turevını ıspatlamıştık (limit tanımından)

http://matkafasi.com/67910/turevde-carpma-kurali-ispati-ezber-bozuyoruz-2?show=67910#q67910

burdan yola çık olmad ben yazarım.

$lna.x=y$ nereden geldi? Eğer oradan devam edecek olursak $lna=y'$ gelir. Aynı şeyden bahsediyorsak $lna.x=lny$ olmalı.

Dipnot:Türev konusunu bu sene öğrenen diğer arkadaşlarımın da faydalanabilmesi için soruyu ortaöğretim kategorisine aldım.

http://matkafasi.com/69003/logaritma-fonksiyonunun-kurallarinin-ispatlari burdan geldi

türev alıyoruz ezberden ama ,logarıtmanın turevının böyle oldugunu kim buldu? bularken neler yaptı amaç onu ögrenmek.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

http://matkafasi.com/71257/logaritmanin-turev-formulunun-limit-tanimindan-ispati burda ispatlanıcak olan veya http://matkafasi.com/70747/sqrt-sinx-sqrt-sinx-cdots-%24olduguna-frac-ifadesini-bulunuz   'un  yorumlarında Moriartied 'in ispatladığı logaritma fonksiyonlarının türevlerinin  genel ispatına dayanarak.

Yani

$log_au=y$ ise

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{du}{dx}}{u}.log_ae$


$\frac{dy}{dx}=\frac{u'}{u}.log_ae$ olur




$a^x=y$ diyelim ve

$\frac{dy}{dx}$ i hesaplayacağız

ispatı yaparken  logaritma kurallarını bildigimizi varsayıyoruz http://matkafasi.com/69003/logaritma-fonksiyonunun-kurallarinin-ispatlari


ln tabanına alalım

$x.lna=lny$


ispatlanan $\frac{dy}{dx}=\frac{u'}{u}.log_ae$

a dayanarak her tarafın türevini alalım ve sol tarafta çarpma oldugu için
http://matkafasi.com/67910/turevde-carpma-kurali-ispati-ezber-bozuyoruz-2?show=67910#q67910

burdaki çarpma kuralı ispatından

$(x)'(lna)+(x)(lna)'=\frac{y'}{y}.lne$            (sabit sayıların türevleri 0 kuralından)


$\frac{dx}{dx}.lna+x.0=\frac{\frac{dy}{dx}}{y}$  düzenlersek


$y.lna=\frac{dy}{dx}$ ispatlanır.$\Box$

(7.9k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Teşekkürler :)

20,237 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,049,081 kullanıcı