$y=\sqrt{sinx+\sqrt{sinx+\sqrt{sinx+\sqrt{\cdots}}}}$olduğuna göre $\frac{dy}{dx}$ ifadesini bulunuz.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
85 kez görüntülendi

Ben bir yoldan buldum ama Fermat'ın dediği gibi çözümünü size bırakıyorum :) Ayrıca çıkması muhtemel alternatif çözümleri de merak ettiğimden bu soruyu paylaştım.

14, Nisan, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  soruldu
15, Nisan, 2016 sonelektrikbukucu tarafından düzenlendi

http://matkafasi.com/62839/sonsuz-zincir-mantiginin-ispatlanmasi-ornegin-gibiler-dfrac

formulıze edıp çozebiliriz

e sayısını yazıyorum bunada bakarım güzel sorular :)

Tam olarak bunu yaptım zaten hocam :) O en kolay çözüm fakat elektriğin bile "alternatif"i varsa bu sorunun çözümünün neden olmasın :)

Yaa ben yaptim ama cok kolay cikti urperdim :) cevp $cosx$ degil dimi ? :)

aynen cosx cevap.

Yanlis olmasi daha cok sevindirirdi :)) neyse keyifliydi..eyvallah..

Yanlis hatirlamiyorsam cevap $cosx$ degildi:) Icinde $cosx$ var ama sadece $cosx$ degil.

3. kök içinden
2. kök içinden
1. kök içinden hep sinx=y çıkıyor

dolayısıyla $\frac{dy}{dx}=(sinx)'=cosx$ geliyor?

Bir dakika soruyu yanlis yazmisim evet bu haliyle $cosx$ soruyu duzeltiyorum hemen.

Bu sorunun çözümünden sonra;

$y=\sqrt{cosx+\sqrt{cosx+\sqrt{cosx+...}}}$

$y=\sqrt{tanx+\sqrt{tanx+\sqrt{tanx+...}}}$

$y=\sqrt{cotx+\sqrt{cotx+\sqrt{cotx+...}}}$

$y=\sqrt[n]{sinx+\sqrt[n]{sinx+\sqrt[n]{sinx+...}}}$

ve benzeri nice soruların çözülmesi mümkün olacaktır...



1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme


$\sqrt{sinx+\sqrt{sinx+\sqrt{sinx+....}}}=y$ ise

Hâla daha kavrayamadığım formül gereği


$\sqrt{sinx+y}=y$ karelerini alalım

$sinx+y=y^2$ her tarafın türevini alalım


$cosx+\frac{dy}{dx}=2y.\frac{dy}{dx}$                                 $\frac{dy}{dx}$ parantezine alırsak


$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{cosx}{2y-1}$  olur
16, Nisan, 2016 Anıl (6,710 puan) tarafından  cevaplandı
$y$ ve $x$'i birbirinden ayırmanın imkansız olduğu bazı durumlar var o durumda $-\frac{F_x}{F_y}$ şeklinde de çözülebilir.

 dy/dx diyip hertürlü birleşiyor.Ters örnek verebilir misin?

genel bır cozum yazıp bu formulu nasıl cıkarırız soru soruyorum sımdı.

Şu anda ters örnek vermek gibi değil de $y^2x+2x^3y+7x+y^4=0$ fonksiyonunu senin yönteminden nasıl çözebiliriz?

Genel çözüm bu tür kapalı fonksiyonlarda $-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{y^2+6x^2y+7}{2yx+2x^3+4y^3}=\frac{dy}{dx}$ şeklinde çözülür. 

hep sanırım derim ama şuanda biraz emin gibiyim benim taktikle hep çıkıyor gibi.

$y^2x+2x^3y+7x+y^4=K$          tüm ifadenin x 'e türevini alalım ve $\frac{dy}{dx}$ bulalım


$K'=\underbrace{2y.\frac{dy}{dx}.x+y^2}_{(y^2x)'}+\underbrace{6x^2y+\frac{dy}{dx}.2x^3}_{(2x^3y)'}+\underbrace{7}_{7x}+\underbrace{4y^3.\frac{dy}{dx}}_{(y^4)'}$


$\frac{dy}{dx}\left [  2xy+2x^3+4y^3 \right]+y^2+6x^2y+7=0=K'$   (K=0)  $\Rightarrow$ (K'=0)

Sanırım oldu:)

Cidden senin taktikle her zaman çıkar sanırım. Kaldı ki benim formül de gökten inmedi, muhtemelen buradan geliyordur.

neden her zaman olur sence? logarıtmık fonksiyonlar üsteller ve trigonometrikler dahil olsa da olur mu?

$x^y$ fonksiyonu için arıza çıkarabilir yine de bakmak lazım.

logaritma fonksiyonlarının limit tanımından çıkan türev ispatlarını biliyor musun?

$f'(x)=lim_{h \to 0} \frac{log_a(x+h)-log_ax}{h}$ ifadeyi düzenlersek 

$= lim_{h \to 0} log_a(\frac{x+h}{x})^{\frac{1}{h}}$ limiti logaritma içine alırsak

$=log_a( lim_{h \to 0} (\frac{x+h}{x})^{\frac{1}{h}})$ $1^{\infty}$ belirsizliğinden dolayı 

$=log_a(e^{\frac{1}{x}})=\frac{1}{lna.x}$

Trigonometrikleri ispatladın logaritmikler bende üstellere bakalım.

$1^\infty$  belirsizliğini sezgisel olarakmı kavrıyorsun formül çıkarımlarınamı güveniyorsun, ben hâla kavrayamadım.

Oraya link koydum ona bak açıklama var. Her ne kadar ben de tam olarak kavrayamasam da :)

Logaritmanın türevinin ispatı diye açtım orada cevaba güzelce açıklarsan güzel olur. Amaç herkes görsün. 

neyse ben yazıyorum:) artık yeni ispatı sen yazarsın:)

...