Sonsuz zincir mantığının ispatlanması örneğin bu ve bunun gibiler $a+\dfrac {a+\dfrac {a+\dfrac {a+\dfrac {:} {b}} {b}} {b}} {b}=?$

Question

1.soru   $a+\dfrac {a+\dfrac {a+\dfrac {a+\dfrac {:} {b}} {b}} {b}} {b}=K$    ,  eşitlikte sonsuza gidene K diyip 

$a+\dfrac {K} {b}=K$    ,   $a=\dfrac {bK-K} {b}$    ,    $\dfrac {ab} {b-1}=K$  olur

2.soru   $\sqrt [n] {a\sqrt [n] {a\sqrt [n] {a\sqrt [n] {a\ldots }}}}=\sqrt [n-1] {a}$

3.soru   $\sqrt [n] {a:\sqrt [n] {a:\sqrt [n] {a:\sqrt [n] {a:\ldots }}}}=\sqrt [n+1] {a}$

4.soru   $\sqrt [] {a+\sqrt [] {a+\sqrt [] {a+\sqrt [] {a+\ldots }}}}=\dfrac {1+\sqrt {1+4a}} {2}$

5.soru   $\sqrt [] {a-\sqrt [] {a-\sqrt [] {a-\sqrt [] {a-\ldots }}}}=\dfrac {-1+\sqrt {1+4a}} {2}$

6.soru   $\sqrt [] {a(a+1)+\sqrt [] {a(a+1)+\sqrt [] {a(a+1)+\sqrt [] {a(a+1)+\ldots }}}}=a+1$

üniversite hazırlık kitaplarında sonsuza giden yere x deniyor ve tüm ifade x e eşitleniyor ama neden?

cevaplarınız için şimdiden teşekkürler(dipçe:yıllardır ezberletilen şeyleri not almıştım şimdi tek tek soruyorum bu soruları ve ispatlarını arşivliyorum herkes rahatça ulaşabilsin diye)

Comments

"üniversite hazırlık kitaplarında sonsuza giden yere x deniyor ve tüm ifade x e eşitleniyor ama neden?"

Sizce böyle yapılması mantıklı değil mi?

Eğer sonsuz toplam, bölüm vb bir eşitlikte, sonsuza giden kısım, eşitlikle aynıysa öyle yapılması gerekmez miydi?

---

bana soruyorsanız zaten ben tam kavrayamadım. Eğer biri kavrayabiliyorsa matematiksel olarak ispatlayabilir sanıyorum.

---

Bana sorarsan ben de kavrayamadim.

$a_1=a$ ve $a_n=\sqrt{a-\sqrt{a_{n-1}}}$ olunca kavriyorum da. Bunu kavrayamiyorum. (link)

Hem dizi olarak yazdik diyelim,limit varligini kabul ederek limit bulmamiz da hatali olabilir (link - bu dizilerde nasil calisir peki?)

---

dizide hadi sıkıntı olur ama aynı terimlerin basitliginde bile sadece bişeye eşitleyip karesini alıp denklem çözüyoruz hadi ben aldım içteki 5.terimden sonraki sonsuz terime K dedim K ya eşitledim bilmem kaçıncı dereceden denklemin kökleri filhakika farklı olucaktır.bence kavranması inanılmaz zor ve (elemanter diyorsunuz heralde) elementer çözümü varmıdır bilemem:D

Answer 1

Ben size basit bir sonsuz seri toplamının ortaögretim düzeyinde ispatını yapayım.Onunla neredeyse aynı mantıkla yapılıyor.

$\sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n}$ şeklinde yazılan toplamı öncelikle yazarsak.
$1+(\frac{1}{2})^1+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3...=A$ dersek ve soldaki $\frac{1}{2}$ ifadeleri bir kere bu ortak paranteze alırsak.
$1+(\frac{1}{2}).(1+(\frac{1}{2})^1+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3....)=A$ gelir.Dikkat ederseniz paranteze aldığım ifade A'ya eşit o zaman $1+(\frac{1}{2}).A=A$'dan $A=2$ gelir.
Bu temel mantığı anlayarak örneğin 4 soruyu çözersek.
$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}..}}$ ise $\sqrt{a+\sqrt{a}..}=u$ dersek.
$\sqrt{a+u}=u$ ise $u^2-u-a=0$ gelir.Buradan ikinci derece diskriminantı alınırsa $u=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$ gelir.

Comments

Sayın dexor,

fotonyiyenadam'ın sorduğu soru da zaten burada: "Dikkat ederseniz paranteze aldığım ifade A'ya eşit o zaman..."

---

evet güzel yaklaşım anladım peki 1. yi nasıl açıklarsınız biraz farklı.

---

ama evet +lar ıçın gıne olmuyor sadece çarpmalı sonsuz ve bölüler için cok mantıklı hilbert oteli gibi. ama toplamalar ve 1.si için yeterli degil sanırım

---

yani size belki çok tanıdık geldigi için direk söyleyebiliyorsunuz ama bişeyler gerçekten eksik tam temel degil dairesel bir ispatlama gibi oluyor f doğrudur gden dolayı g  doğrudur tden dolayı t dogrudur fden dolayı gibi.

---

1'inci içinde aynı temel mantık geçerli.Yani sonsuza giden ifadeye aynı değeri vermek.Tabi bu noktada çok çok ufak bir toplamayı eksik yapıyoruz ama bu bulduğumuz sonuçlar zaten toplamın çok yakın değerleri ama sanırım soruduğunuz bu değil.Tam olarak sorduğunuz şeyi anlayamadım.

---

hocam benım kafam basmadı heralde 1 i çözermisiniz yada 1için toplam verılebılırmı a+x/b  

---

Sayin hocam zaten yapabileceğimiz çözümü yapmışsınız.Sercan hocanin paylastigi şey önemli bu ifadenin limiti olup olmadigi konusu eğer limit var dersek direkt olarak cevabi sizinde birinci soru için yazdiginizi yazabiliriz.Fakat limit olup olmadigini nasil anlayacagiz derseniz.Sanirim benden daha yetkin hocalar daha iyi aciklar benimde kafamda bazi gri noktalar mevcut.

---

emeginiz için çok teşekkürler peki bunun kesin elementer bi çözümü olabilirmi sırf bu umutla yazdım bana çok keyf verceginden emindim:D tekrar sağolun iyi çalışmalar