Izomorfizm

Question

$G$, derecesi $pq$ olan degismeli bir grup ve $p$ ile $q$ aralarinda asal olsun. $G \cong \mathbb{Z}_p \oplus\mathbb{Z}_q$ gosteriniz

Comments

$p$ ve $q$ asal sayilar mi?

Answer 1

$(p,q)=1$ olduğundan $pm+qn=1$ olacak şekilde $m,n\in \Bbb{Z}$ vardır. $x\in G$ olmak üzere $x=1x=(pm)x+ (qn)x$ şeklindedir. $H=\{x\in G: o(x)=q\}$ ve $K=\{x\in G: o(x)=p\}$ olsun. Bu kümeler $G$'nin altgrupları olup $G=H\oplus K$. (Yine $(p,q)=1$ olduğundan $H\cap K=\{0\}$).

Comments

$p$ ve $q$ asal denmemis. Aralarinda asal herhangi iki pozitif tam sayi olur gibi anliyorum sorunun bu halinden.

---

Hocam soruda $p$ ve $q$ aralarında asal diyor. Ayrı ayrı asaldırlar demiyor. O zaman cauchy teoremini uygulayamıyoruz sanki..

---

Grup sonlu değişmeli olduğundan grubun mertebesini bölen her sayı için bir altgrup mevcut. Ancak sonrası $p,q$ asal değilse doğru olmaz.

---

$4\cdot3$ icin $$\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_3$$ ters ornek olur. Bu nedenle asallik onemli. 

En azindan cevaptaki gibi $p$ ve $q$ mertebesi olan elemanlarin varligi da yeterli olur.