1. Dereceden Denklemlerde Paradoks

Question

Örneğin $x=2x$ denklemi. Bu denklemde;

$1$) her iki tarafı da aynı sayıya ($x$) bölersek:

$1=2$ çıkar ve sonuç boş küme olur.

$2$) her iki taraftan da aynı sayıyı çıkartırsak:

$0=x$ olur.

Bu soruyu sorduğum kişiler genelde 0'a bölünme yapılmayacağını söylüyorlar. Fakat 1. maddede x'in 0 olup olmadığına dair hiçbir şey bilmiyorum. Denklemi 1. maddedeki gibi çözerken x'in 0 olduğunu bilmediğim için iki tarafı da x'e bölüyorum.

Sormak istediğim, her iki maddede de eğer denklem çözme mantığına aykırı bir şey yoksa neden iki farklı sonuç çıkıyor? Anlamama yardımcı olursanız sevinirim.

Comments

 Sıfırdan farklı hiç bir sayı, kendisinin iki katına eşit olamayacağından,işin başındaki yazılışta $x=0$ koşulu var olmalıdır. Eğer $x\neq0$ ise zaten verilen eşitliğin doğru olmadığını sizde iki şekilde göstermişsiniz.

---

güzel soru ama  1. denklemde x bir değişken degıl bir sabit sayıdır denklemi çözersen xin 0 a eşit oldugunu gorebılırsın ,bundan ziyade 2. işlemde yaptığın kesinlikle doğrudur .Eğer biraz sabır edersen senin bu sorundan dolayı neden 0 a bölemeyiz ve 0/0 ile ilgili bir yazı yazacağım sanada ulaştırırım ayrıyetten.

---

Teşekkür ederim cevabınız için.

---

Yazınızı yazdığınızda ulaştırırsanız mutlu olurum.

---

başlıgıda 0/0 belirsizliği x/0 tanımsızlığı ve birinci dereceden denklemlerde çatışkı(paradoks) diye düzeltirsen daha güzel olur bence.

Answer 1

      1. kural      $x.\frac{y}{y}=x $ demektir   ve herhangi-- reel sayı olan  $x\in\mathbb{R}$ için

      2. kural      $x.0=0$ dir

bu bilgilerden yola çıkarak 


$x\neq 0$ diye bir x sayısı alalım ve


$\frac{x}{0}=k$   olsun


Hertarafı 0 ile çarpalım


$\frac{x}{0}.0=k.0$   1. ve 2. kural çerçevesinde


$\underbrace{\frac{x}{0}.0}_x=\underbrace{k.0}_0$ olmalı 

ama biz $x\neq0$ varsaymıştık ve şimdide $x=0$ bulduk ve bir çatışkı"paradoks" elde etmiş olduk.


ek olarak çatışkı sonucunda k nın var olamayacağını yani tanımsız olduğunu ispatladık $\Box$

Comments

Çok teşekkür ederim. Bu bilgileri körü körüne ezberlemeyip kaynağını öğrenmiş oldum.

---

$x.0=x$ tir? $x.0=0$ olabilir mi?

---

aynen 0 olcak zaten 0 olmasına göre çözüm mantıklı

Answer 2

$\frac{0}{0}$ neden belirsizdir şımdı hep beraber anlamağa çalışalım.

$\frac{0}{0}=\gamma$  olsun 

$x.\frac{y}{y}=x$ kuralından yola çıkarak

$\frac{0}{0}=\gamma$ ifadenin hertarafını  "0" ile çarpalım

$\underbrace{0\frac{0}{0}}_0=\gamma.0$ buradanda şöyle bir eşitlik çıkar

$0=0.\gamma$ yani burdaki $\gamma$ her değeri alabilir yani 

$\frac{0}{0}=\gamma$ buradaki $\gamma$ dolayısıyla  $\frac{0}{0}$  belirsizdir.

$\frac{0}{0}$ nin belirsizliğini ispatladık $\Box$

Comments

Bu doğru değil foton, $\frac00$ ı tanımlı kabul etmen eşitliğin iki tarafını $0$ ile çarpabileceğin anlamına gelmez.

Ayrıca $0 \frac00$ neden $0$?

---

0/0=y diye bir şeye eşit, her tarafı 0la çarptım,

0.0/0=0 gibi bir şey oldu ki 0/0 nedir bilmiyoruz ve ona y demiştik, tekrar yerine koyuyorum,

0.y=0 geliyor ki buradaki y ne olursa olsun saglanıyor , tam nerede hata var, ve sen olsan 0/0 ın belirsizligini nasıl gösterirdin ? Bu arada ,lebesque'ye 3 kişi falan gidiyor, seneye baştan sona katılmak istiyorum ,bu sene bır topolojıye ayak basıyım da :D

---

3 kişi mi :) köyde measure theory al bari kışın, okuldaki dersi boşver :)

Topoloji iyidir :)

---

Bu sonuç yanlış, siz $\frac{0}{0}$'a bir reel sayı değeri vermek istersek bunun için sonsuz seçeneğimiz olduğunu göstermişsiniz, ki bu kısmı doğru. Ancak bu $\frac{0}{0}$'ı tanımlamamak için bir gerekçe. Belirsizlik kavramı sayıların birbiri ile bölümü ile ilgili değil, reel fonksiyonların oranlarının limiti ile ilgili bir kavram. 

Answer 3

$0/0$ belirsiz değil, tanımsız olarak alınır.

$ax=b$ denklemini sağlayan bir $x$ doğal sayısı varsa $a$ sayısı $b$ sayısını böler denir ve $a|b$ şeklinde gösterilir. Bu tanıma göre $0$ sayısı $0$ sayısını böler çünkü $0x=b$ denkleminin sadece $b=0$ için çözümü vardır.Yani $0$ sadece $0$ 'ı böler. Ancak $0/0$ diye bir sayının varlığından bahsedebilmek için $0x=0$ denkleminden bir sayı bulabilmemiz gerekir fakat biliyoruz ki her $x$ sayısı için bu eşitlik sağlanır ve $0/0$ için tek bir değer atayamayız. $0$ ile çarpıldığında $0$ dışında bir sonuç veren bir sayı mevcut olmadığından bir sayıyı $0$ ile bölmek iyi tanımlı değildir ($0$ sayısının çarpımsal tersi yoktur; yani $0^{-1}$ tanımlı değildir.Diyelim ki $0$ ın çarpımsal tersi $z=0^{-1}$ olsun. O zaman çarpımsal ters tanımından $0.z=1$ olmalı.Fakat biliyoruz ki $0.z=0$ yani $1=0$ çelişkisine ulaşırız). İstediğimiz her sayı bu eşitliği sağladığından buradaki $x$ sayısına belirsiz diyemeyiz. Karışıklığa yol açmamak için $0/0$ diye bir sayı özellikle tanımlanmamıştır. Dolayısıyla $0/0$  tanımsız olarak bırakılmıştır.