$M$ ve $N$, $\mathbb{R}^k$'de türevli iki manifold olsun ve boyutları sırasıyla $m$ ve $n$ olsun. Örnek: Çember ($S^1\subset\mathbb{R}^2$) ve genelde $k$ boyutlu küre ($S^k\subset\mathbb{R}^{k+1}$, $k\geq 0$) türevli manifoldlardır.
Türevli topolojinin temel teoremlerinden biri der ki, eğer $M$ ve $N$ birbirlerini kesip geçiyorsa (kesiştikleri noktalarda birbirlerine transverse iseler) o zaman $K=M\cap N$ de $\mathbb{R}^k$'de türevli bir manifolddur. Üstelik, $m+n\geq k$ ise $K$'nin boyutu $m+n-k$'dir.
Eğer $m+n < k$ ise $K$ boş kümedir; yani, toplam boyutları tam boyuta erişemeyen iki manifoldun birbirlerini kesip geçmeleri ancak kesişimleri boş iken olasıdır.
Kesip geçmenin tanımı. $x\in M\cap N\neq \emptyset$ olsun. Eğer $M$ ve $N$'nin $x$'teki teğet uzaylarının direkt toplamı, $x$'teki tüm vektörlerin oluşturduğu uzaya eşitse, $M$ ve $N$ $x$'te birbirlerini kesip geçiyor diyoruz.
Soruyu düzeltmek. $\mathbb{R}^k$'de tek bir nokta belirtmek için 2 çember yeterli (o noktada birbirine teğet iki çember alın). Öyleyse bu haliyle soru, ardındaki geometrik sezgiyi yansıtmıyor. Soruyu şöyle değiştirmeyi öneriyorum ve bunu çözüyorum: $\mathbb{R}^{k+1}$'de bir noktanın bulunduğu yeri kesin olarak bulmak için, birbirini kesip geçme koşuluyla kaç adet $S^k$ gereklidir?
Sorunun çözümü. Birbirini kesip geçen bir $S^k$ çifti, $k-1$ boyutlu bir manifoldda kesişirler. Hatta topolojik olarak kesişim $S^{k-1}$'dir. Kesişimi $S^k$ ile kesiştirip aynı mantığı tekrar tekrar uygulayarak, $k$'inci adımda 0 boyutlu bir kesişim elde ederiz ki bu da topolojik olarak $S^0$'dır; yani 2 noktadan oluşan bir kümedir. Tek noktaya indirmek için bir küre daha gerekir.