Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
605 kez görüntülendi
n-boyutlu uzayda bir noktanın bulunduğu yeri kesin olarak bulmak için en az kaç çember çizmek gereklidir?
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (691 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 605 kez görüntülendi

Cember cizerek koordinatlar nasil bulunuyor?

Mesela 2 boyutta 3 çember çizerek bir nokta belirleyebiliriz. İkisi iki noktada kesişir, diğeri de bu ikisinin kesiştiği bir noktadan geçerse nokta sabitlenmiş olur. 3 boyutta 4 çemberle bir nokta sabitlenebiliyor sanıyorum. Bir sanı: n boyutlu uzayda bir noktayı belirlemek için n+1 çember gerekli ve yeterli midir?

Sanıda küçük bir hata var. Bu yüzden doğru değil. $\mathbb{R}^2$'de bir tek noktayı belirlemek için 3 çember gerekli değil. 2 çemberle de halledebiliyoruz: 2 çember, istenen noktada birbirlerine teğet olsun. Bu hata minik ama önemli. Aşağıdaki cevabımdaki ana kavramı bu çünkü.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$M$ ve $N$, $\mathbb{R}^k$'de türevli iki manifold olsun ve boyutları sırasıyla $m$ ve $n$ olsun. Örnek: Çember ($S^1\subset\mathbb{R}^2$) ve genelde $k$ boyutlu küre ($S^k\subset\mathbb{R}^{k+1}$, $k\geq 0$) türevli manifoldlardır.

Türevli topolojinin temel teoremlerinden biri der ki, eğer $M$ ve $N$ birbirlerini kesip geçiyorsa (kesiştikleri noktalarda birbirlerine transverse iseler) o zaman $K=M\cap N$ de $\mathbb{R}^k$'de türevli bir manifolddur. Üstelik, $m+n\geq k$ ise $K$'nin boyutu $m+n-k$'dir.
Eğer $m+n < k$ ise $K$ boş kümedir; yani, toplam boyutları tam boyuta erişemeyen iki manifoldun birbirlerini kesip geçmeleri ancak kesişimleri boş iken olasıdır.

Kesip geçmenin tanımı
. $x\in M\cap N\neq \emptyset$ olsun. Eğer $M$ ve $N$'nin $x$'teki teğet uzaylarının direkt toplamı, $x$'teki tüm vektörlerin oluşturduğu uzaya eşitse, $M$ ve $N$ $x$'te birbirlerini kesip geçiyor diyoruz.

Soruyu düzeltmek. $\mathbb{R}^k$'de tek bir nokta belirtmek için 2 çember yeterli (o noktada birbirine teğet iki çember alın). Öyleyse bu haliyle soru, ardındaki geometrik sezgiyi yansıtmıyor. Soruyu şöyle değiştirmeyi öneriyorum ve bunu çözüyorum: $\mathbb{R}^{k+1}$'de  bir noktanın bulunduğu yeri kesin olarak bulmak için, birbirini kesip geçme koşuluyla kaç adet  $S^k$ gereklidir?

Sorunun çözümü. Birbirini kesip geçen bir $S^k$ çifti, $k-1$ boyutlu bir manifoldda kesişirler. Hatta topolojik olarak kesişim $S^{k-1}$'dir. Kesişimi $S^k$ ile kesiştirip aynı mantığı tekrar  tekrar uygulayarak, $k$'inci adımda 0 boyutlu bir kesişim elde ederiz ki bu da topolojik olarak $S^0$'dır; yani 2 noktadan oluşan bir kümedir. Tek noktaya indirmek için bir küre daha gerekir.


(57 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,240 soru
21,759 cevap
73,407 yorum
2,079,220 kullanıcı