Matris gruplarının Lie cebirlerini tanımlamak

Question

 $n$ x $n$'lik determinanıntı $0$'dan farklı matrisler grubunun -general linear group- altgruplarının, örneğin $O(n),SO(n),U(n),Sp(n),\dots$, $Lie$ cebirlerini nasıl bulabilirim? Lie bracket (parantez?) tanımlarken şunu mu kullanmalıyım?

$A,B \in GL(n,\mathbb{R})$ olmak üzere $[A,B]=A.B-B.A$

Ek olarak cismi $\mathbb{R}$ yerine $\mathbb{C}$ alsam matrislerinin boyutunu 2 katına çıkarmaktan başka bir ekleme yapmam gerekir mi bu tanımlarda?

Answer 1

Matris grubunu tanımlayan koşul  matris denklem(ler)i ise Lie cebirinin (tüm tekil olmayan matrilerin Lie cebirinin alt cebiri olarak) bulmak daha kolay (verdiğin örneklerin hepsinde öyle). 

$GL(n,\mathbb{R})$ nin Lie cebiri ($\frak{gl}(n,\mathbb{R})$) tüm $n\times n$ matrisler  ve  $[A,B]=AB-BA$ olduğundan gerisi kolay. (soruda da $A,B$ herhangi iki kare matris olmalı)

O grupta ($t=0$ anında birim elemandan geçen) türevlenebilen bir eğri alıp, grubun elamanlarının sağladığı denklem(ler)i yazalım. Bu eşitlik(ler) her $t$ için doğru.

Bu eşitlik(ler)te türev alınır ve $t=0$ yazlırsa, $e$ deki türevin sağladığı denklem(ler) çıkacaktır. o da Lie cebirini oluşturan matrislerin sağlaması gereken koşul(lar) olacaktır.

Örneğin $O(n)$ ve $SO(n)$ için  denklem $AA^t=I$  dır.

Eğri $A(t),\ (A(0)=I)$ olsun. $A(t)A(t)^t=I$ olur. Türev alalım. (türev ve transpoz sırası değiştirilebilir)

$A(t)A'(t)^t+A'(t)A(t)^t=0$ olur. $t=0 $ için

$A'(0)+A'(0)^t=0$. 

yani $O(n)$ ve $SO(n)$ nin Lie cebiri $\frak{gl}(n,\mathbb{R})$(=tüm $n\times n$ matrisler) içindeki ters simetrik matrislerdir

Comments

Aslında benim cevabım eksik oldu.

Sadece $SO(n)$ in Lie cebirinin terssimetrik matrislerin icinde kaldigini gosterdim. Eştligi gostermek icin bir de ters icermeyi gostermek gerekir.

---

Doğan hocam şu kısımdaki teknik detayları isteyebilir miyim?

"O grupta (t=0 anında birim elemandan geçen) türevlenebilen bir eğri alıp, grubun elamanlarının sağladığı denklem(ler)i yazalım. Bu eşitlik(ler) her tt için doğru.

Bu eşitlik(ler)te türev alınır ve t=0 yazlırsa, ee deki türevin sağladığı denklem(ler) çıkacaktır. o da Lie cebirini oluşturan matrislerin sağlaması gereken koşul(lar) olacaktır."

Answer 2

Yanlış hatırlamıyorsam bir G Lie grubunun Lie cebri grubun e birim noktasındaki tanjant uzaydan oluşur. Örneğin S-1 kürenin (çemberin) Lie cebri (1,0) noktasından çizilen teğettir. SO(3) dönme grubunun (aynı zamanda topolojik manifold yapısı vardır) Lie cebri, so(3),  skew-simetrik (anti simetrik) bir matristen oluşur. 

Comments

Manifoldlar ve tanjant uzaylarına olabildiğince dokunmadan çözüme ulaşmamın bir yolu var mı peki?