$x^2+y^2+z^2=3$ oldugundan
$x+y+z\geq x^2y+y^2z+z^2x$ hertarafı ($x^2+y^2+z^2$) ile çarpalım
$(x+y+z)[x^2+y^2+z^2]\geq (x^2y+y^2z+z^2x)[(x^2+y^2+z^2)=3]$ yani
$(x+y+z)[x^2+y^2+z^2]\geq (x^2y+y^2z+z^2x).3$ solu açıp düzenleyelim
$x^3+x^2z+xy^2+y^3+yz^2+z^3\geq 2x^2y+2xz^2+2y^2z$ bunu ispatlarsak soruyuda ispatlamış oluruz.
Bunun gibi yaklaşık 10 denklem yazdım ve aritmatik ortalama -geometrik ortalama arasındaki ilişkilere göre modifye etmeğe uğraştım "m.s.e." den aldıgım tek ipucu
$\frac{x^3+y^2x}{2}\geq \sqrt{x^3.y^2x}=x^2y$ idi.
ispatıda bu
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$(\sqrt a -\sqrt b)^2\geq 0$ burdan
$a+b-2\sqrt{ab}\geq 0$
$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ $A.O.\geq G.O.$ ispatlanır.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
alttakileri taraf tarafa toplarsak
$\frac{x^3+y^2x}{2}\geq \sqrt{x^3.y^2x}=x^2y$
$\frac{z^3+x^2z}{2}\geq \sqrt{z^3.x^2z}=z^2x$
$\frac{y^3+z^2y}{2}\geq \sqrt{y^3.z^2y}=y^2z$
+
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$x^3+x^2z+xy^2+y^3+yz^2+z^3\geq 2x^2y+2xz^2+2y^2z$ Bulunur
bu da zaten bizim için gerekli eşitsizlikti
bu sayede ispatlanmış oldu. $\Box$