Süreklilik Üzerine-I

Question

$$f(x)=\lfloor x\rfloor$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun sürekli olmadığını süreklilik tanımından hareketle gösteriniz.

Not: $\lfloor\cdot \rfloor$: Tamdeğer fonksiyonu

Comments

Bu sorunun cevabının bu linkteki soru kadar kolay olmayacağı kanaatindeyim.

Answer 1

ISTENILEN CEVAP DEGIL(diğer cevabıma bakınız)
   
$f(x)=\lfloor x\rfloor$  için;

$n\in\mathbb{Z}$ ise;

$\lim_{x\rightarrow n^{+}}f(x)$$\neq \lim_{x\rightarrow n^{-}}f(x)$  olduğundan

$f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$ için $f(x)=\lfloor x\rfloor$  süreksiz bir fonksiyondur.


EK BİLGİ;

bir fonksiyonun sürekli olması için yeter ve gerek koşul ;

$\star\star$ Eğer fonksiyon $f:\mathbb{X}\rightarrow \mathbb{Y}$ gibi bir tanım ve değer kümeleri var ise

$\forall n\in\mathbb{X}$  için   ;

$\lim_{x\rightarrow n^{+}}f(x)$$= \lim_{x\rightarrow n^{-}}f(x)$ oluyor ise .


ve...


$\star\star$ Eğer  $\forall n\in\mathbb{X}$  için  bir $f(x)\in\mathbb{Y}$ var ise yani;

$\forall n\in\mathbb{X}$       $\exists  f(n)=L(L\in\mathbb{Y})$

Comments

Sevgili foton soruda cevabın süreklilik tanımından hareketle fonksiyonun süreksiz olduğu gösterilmesi isteniyor.

---

hocam birdaha bakın siz bunu yazarken ben düzenliyordum sanırım ek bilgileri görmediniz.

---

Ek bilgi de eksiklikler var. Tekrar ediyorum. Süreklilik tanımından hareketle sorunun çözümünü istiyorum. Sen ise belirli koşulları sağlayan bir fonksiyonun sürekli olması için gerek ve yeter koşul şudur teoreminden hareket ediyorsun.

---

Bir fonksiyon belirli bir tanım aralığında, her tanım elemanına karşılık gelen bir değer elemanı var ise ve her tanım elemanının soldan ve sağdan limitleri aynı yani her tanım elemanının limitleri var ise;
bu fonksiyon o aralıkta Örneğin$[a,b]$ aralığında süreklidir deriz biz burda bir aralık yerine sonsuz kümeler üstünde çalıştığımızdan ,aralık yerine kümeleri kullanmalıyız.

O zaman ben de diyorum ki;

$f(x)=\lfloor x\rfloor$ fonksiyonu için  $\mathbb{Q}$ kümesindeki (tanım kümesindeki) her elemanın değerde karşılığı var ise yani her x için f(x) tanımlı ise, limitlerini inceliyelim.


$f(x)=\lfloor x\rfloor$ fonksiyonu için her  $n\in\mathbb{Z}$ için  

$lim_{x\rightarrow n^{+}}f(x)\neq lim_{x\rightarrow n^{-}}f(x)$  olur ve süreklilik tanımına uymaz.

bu da mı gol değil sevgili hocam:)

Gol değilse biraz ipucu veriniz lütfen.Sürekliliği öğrenememişsem yazık bana.

---

Sevgili foton bu linki incelemeni tavsiye ederim.

Answer 2

Cevap, hep süreksiz değil de, hep sürekli olmadığını göstermek gerekli çünki diyelim $a\in\mathbb Q$, $x=a\neq z\in\mathbb Z$ daki sürekliliği araştırıyorsak $\delta=\dfrac{a\pm a\lfloor a\rfloor}{2}$ seçmek yeterli olur.

Neden mi? Eğer $\mathbb Q\setminus\mathbb Z$ kümesine bakarsak alacağımız her $a$ elemanı için seçilen $\delta=\dfrac{a\pm a\lfloor a\rfloor}{2}$ sayısı, $|f(x)-f(a)|<\epsilon$ önermesini doğruluyor

Dolayısıyla sorudaki fonksiyonun;

$$a\in \mathbb Z$$ elemanları için süreksiz oldugunu göstermek yeterli oluyor.

$$----------------------------$$




Sürekliliğin tanımının tersini kullanalım:


$f:\mathbb Q\to\mathbb R$ fonksiyonunun bir $a\in \mathbb Z$ noktasında sürekli olmaması için öyle bir $\epsilon>0$ sayısı olmalıdırki  hangi $\delta>0$ alınırsa alınsın $$|x-a|<\delta\tag1$$ eşitsizliğinin sağlayan ama $$|f(x)-f(a)|<\epsilon\tag2$$ eşitsizliğini sağlamayan bir $x\in \mathbb Z$ noktası vardır.

$\epsilon=1$ seçilirse, $\delta$ istedinildiği kadar küçük olursa olsun $x=-\delta/2+a$ için $(1)$ önermesi doğru olur  $|x-a|=|-\delta/2+a-a|<\delta$ ama aynı $x$ noktası için $|f(x)-f(a)|=|1|<\epsilon=1$  yanlış olur ve ispat biter. $Q.E.D. \Box.$(Reel sayı kümesi aksiyomlarına göre, $a\in\mathbb R$ ise $a<a$ yanlış bir önermedir.)


Bu şekilde $f:\mathbb Q\to\mathbb R$ olan $f(x)=\lfloor x\rfloor$fonksiyonu $x=a\in\mathbb Z$  için süreksiz oluyor.

Comments

$f: \mathbb Z \to \mathbb R$ sureksiz mi diyorsun sin kismda? 

Bir de ortada $\mathbb R$ ve $\mathbb Z$ var ama $\mathbb Q$ yok?

---

Yukarıdaki açıklama, sanırım, gözünüzden kaçtı.Ve ayrıca resmin altında, $f:\mathbb Z\to \mathbb R$ için süreksizliğini gösterdim.

"Fonksiyon tanım kümesindeki her nokta için sürekli değilse, fonksiyona tanımlı olduğu aralıkta süreksiz diyoruz" mantığını kullandım. Dolayısıyla $\mathbb Z\subset \mathbb Q$ olduğundan, $\lfloor x\rfloor :\mathbb Q\to\mathbb R$ süreksizdir dedim.

---

Alisageldik topolojide tanim kumesini $\mathbb Z$ye indirgersek her fonksiyon surekli olur. 

Aciklamalar pek dogru degil gibi... Zaten bagdastirmalarini pek anlayamadim.

---

abi soruda Q dan R ye sureklı degıldır onermesını goster dıyor, ben Zden bır eleman alıyorum ve sureksızlıgını ıspatlıyorum dolayısıyla onerme ıspatlanıyor

---

ilk cumlem ile celisiyor bu dedigin. 

---

bu sefer ben anlamadım

---

Alisageldik topolojide tanim kumesini $\mathbb Z$ye indirgersek her fonksiyon surekli olur. 

Daha genel olarak ayrik topolojiden herhangi topolojiye giden fonksiyon surekli olur. 

---

abi topolojiyle ne alakası varkı, dırek tanımı kullandım bu çıktı.

---

hem şu onermenın nesı yanlış? eğer Q da tanımlıbır fonksıyon, tam sayılarda sureksızse, Qda da sureksızdır? hatta kumelerı degıştırmeden dırek Q ıcındekı Zlerden seçelım

---

Hata bu cumleden once. Bu cumleden oncesi yanlis. Bu cumleden once Z'de sureksiz diyorsun ama surekli.


$\epsilon>0$ verilsin. $\delta=1/2>0$ secersek $x\in \mathbb Z$ ve $$0<|x-a|<\frac12$$ (ki bu bos kume demek) oldugunda $$|f(x)-L|<\epsilon$$ (dogal olarak) saglanir. 

---

tamam işte bunun boyle olmadıgını belırtıyorum, Qnun ıcınden bır tam sayı alalım, sureksız.

---

cevabımda da resımden sonrakı yerde $f:Z\to R$ yerıne $f:Q\to R$ yaptım

---

icerikte boyle bir sey yok. 

---

Bu durumda bir tarafta $0$ ve bir tarafta $1$ oluyor.  Tamamen $1$e esit degil.

Bir de $\delta<\delta$ olacak bir $x$ secmissin.

---

Hatam, f'nin tanım aralıgını degıştırmemdı, ama bunun harıcınde bakarsak, eger bır fonksıyonunun sureklı olmadıgını gosterceksem tek noktada gostermem yetıyor eğer o nokta tanım aralıgında varsa

---

orada $x=-\delta/2+a$ olcak aynen defterden geçerken 2ler gelmemiş

---

Bu arada $f:R\to R$ olsa bile dedıgım yerde, olayı daha garantilemiyoruz, daha da kuvvetsizleşiyoruz sanırım?

---

Anıl merhaba. Tanım kümesi $\mathbb{Z}$ olan her fonksiyon (kuralı ne olursa olsun) sürekli olur. Nedenini biraz (aslında çok) düşünmeni tavsiye ederim.

---

Merhaba hocam, aynen bunu biliyorum. Ancak sanırım bu cevapta asıl demek istediğim şey, Q tanımlı f fonksiyonu zaten hiçbir Z sayısı için sürekli degil.(ki Q da süreksiz olmasını göstermek için bir tane bile yeter.)

Answer 3

Her kapali kumenin fonksiyon altindaki on goruntusu kapali ise fonksiyon sureklidir. $[0,1]$ kapali araliginin on goruntusu $[0,2)$. Fonksiyon surekli degil.